已知正三棱锥的侧棱长为2，底面边长为1，且正三棱锥内有一个球与其四个面相切，求三棱锥体积与内切球的表面积.

1. 已知正三棱锥的侧棱长为2，底面边长为1，且正三棱锥内有一个球与其四个面相切，求三棱锥体积与内切球的表面积.

【考点】

棱柱、棱锥、棱台的体积; 球的表面积与体积公式及应用; 球内接多面体;

【答案】

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解答题普通

1. 已知正四面体 $\text{[math]}$ 的内切球的表面积为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求该内切球的半径；

(2) 过该四面体的一条棱以及球心的平面截正四面体 $\text{[math]}$ ，求所得截面的面积．

解答题普通

2. 如图，在三棱推 $\text{[math]}$ 中，高 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ ．

(1) 求三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积；

(2) 求三棱锥 $\text{[math]}$ 外接球的表面积．

解答题普通

3. 台州黄岩被誉为“模具之乡”，为市场对球形冰淇淋的需求，特地制作了一款中空的正三棱柱模具，其内壁恰好是球体的表面，且内壁与棱柱的每一个面都相切 $\text{[math]}$ 内壁厚度忽略不计 $\text{[math]}$ ，店家可以将不同口味的冰淇淋放入该模具中，再通过按压的方式得到球形冰淇淋 $\text{[math]}$ 已知该模具底部边长为 $\text{[math]}$ ．

⑴求内壁的面积；

⑵求制作该模具所需材料的体积；

⑶求模具顶点到内壁的最短距离．

解答题普通