已知数列的各项均为正数，其前n项和为，且．

1. 已知数列 $\text{[math]}$ 的各项均为正数，其前n项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ．

【考点】

等差数列的通项公式; 数列的求和; 数列的递推公式;

【答案】

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解答题普通

1. 已知正项数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ .试求：

(1) 数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；

(2) 记 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求满足条件的最小整数 $\text{[math]}$ .

解答题普通

2. 已知有穷数列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，令 $\text{[math]}$ ．

（1）写出 $\text{[math]}$ 所有可能的值；

（2）求证： $\text{[math]}$ 一定为奇数；

（3）是否存在数列 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ？若存在，求出数列 $\text{[math]}$ ；若不存在，说明理由．．

解答题困难

3. 已知正项数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ .

(1) 证明：数列 $\text{[math]}$ 是等差数列；

(2) 设数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$

解答题普通