已知定义在上的函数为奇函数.

1. 已知定义在 $\text{[math]}$ 上的函数 $\text{[math]}$ 为奇函数.

(1) 求 $\text{[math]}$ 的值，试判断 $\text{[math]}$ 的单调性，并用定义证明；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

【考点】

函数单调性的判断与证明; 函数单调性的性质; 指数函数单调性的应用;

【答案】

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解答题普通

1. 已知函数 $\text{[math]}$ 的定义域为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 证明：函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上为单调减函数；

(3) 解不等式 $\text{[math]}$ ．

解答题困难

2. 在区间 $\text{[math]}$ 上，若函数 $\text{[math]}$ 为增函数，而函数 $\text{[math]}$ 为减函数，则称函数 $\text{[math]}$ 为“弱增函数”．已知函数 $\text{[math]}$ ．

(1) 判断 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上是否为“弱增函数”；

(2) 设 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ；

(3) 当 $\text{[math]}$ 时，不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题普通

3. 已知函数 $\text{[math]}$

(1) 判断函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的单调性，并用定义证明；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题普通