如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠MEB与∠NFD互补．

1. 如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠MEB与∠NFD互补．

(1) 试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；

(2) 如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH；

(3) 如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点，使∠PHK＝∠HPK，作PQ平分∠EPK，问∠HPQ的大小是否发生变化，若不变，请求出其值；若变化，说明理由．

【考点】

平行线的判定与性质; 三角形内角和定理; 三角形的外角性质; 角平分线的概念;

【答案】

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综合题困难

1. 已知直线 $\text{[math]}$ ，嘉淇对直角三角板在这两条平行线间的摆放进行了探究．

(1) 如图 $\text{[math]}$ ，嘉淇把三角板的直角顶点放在直线 $\text{[math]}$ 上 $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的度数为；

(2) 将含 $\text{[math]}$ 角的直角三角板 $\text{[math]}$ 如图 $\text{[math]}$ 所示摆放，当 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 一定平分 $\text{[math]}$ 吗？请做出判断，并说明理由；

(3) 将一副直角三角板按如图 $\text{[math]}$ 所示方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含 $\text{[math]}$ 角的直角三角板 $\text{[math]}$ 的直角顶点与 $\text{[math]}$ 角的顶点重合于点 $\text{[math]}$ ，直角三角板 $\text{[math]}$ 的斜边 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上，含 $\text{[math]}$ 角的直角三角板的另一个顶点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上，求 $\text{[math]}$ 的度数．

综合题困难

2. 已知：点 $\text{[math]}$ 在射线 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ．

(1) 如图 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，请探究 $\text{[math]}$ 的数量关系，写出你的探究结论，并加以证明；

(3) 如图 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 的条件下，过点 $\text{[math]}$ 交射线于点 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的度数．

综合题困难

3. 在同一平面内，两条直线有平行和相交两种位置关系．

(1) 如图 $\text{[math]}$ 所示， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 下方的一点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，试探究 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间的数量关系．

小明的解答过程如下 $\text{[math]}$

解： $\text{[math]}$ ，理由如下：

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ （已知） $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ （）

又 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ （）即

$\text{[math]}$ ▲ ；

$\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ （）

即 $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ （等量代换）

(2) 如图 $\text{[math]}$ 所示， $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 移动到 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间时， $\text{[math]}$ 中结论是否仍成立，若成立，请说明理由；若不成立，请写出 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并证明．

针对这个问题，小明、小亮、小颖三位同学各自提出了自己的解题思路：

小明：可以连接 $\text{[math]}$ ，利用平行线的性质和三角形内角和和定理解决问题；

小亮：可以延长 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，同样利用平行线的性质和三角形内角和定理也可解决问题；

小颖：我过点 $\text{[math]}$ 做了一条与 $\text{[math]}$ 平行的直线，也能做出来．

请从上述三种思路中选择一种，完成解答．

(3) 如图 $\text{[math]}$ 所示， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交干点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 内部一点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 间的数量关系．

综合题困难