已知函数对任意实数m、n都满足等式，当时，，且．

1. 已知函数 $\text{[math]}$ 对任意实数m、n都满足等式 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 判断 $\text{[math]}$ 的奇偶性；

(2) 判断 $\text{[math]}$ 的单调性，求 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的最大值；

(3) 是否存在实数a，对于任意的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，使得不等式 $\text{[math]}$ 恒成立．若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

【考点】

函数的最大（小）值; 奇偶性与单调性的综合; 函数恒成立问题;

【答案】

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解答题困难

1. 已知函数 $\text{[math]}$ ，若存在常数 $\text{[math]}$ ，使得对定义域 $\text{[math]}$ 内的任意 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ 成立，则称函数 $\text{[math]}$ 是定义域 $\text{[math]}$ 上的“ $\text{[math]}$ 利普希兹条件函数”.

(1) 判断函数 $\text{[math]}$ 是否为定义域 $\text{[math]}$ 上的“ $\text{[math]}$ 利普希兹条件函数”，若是，请证明：若不是，请说明理由；

(2) 若函数 $\text{[math]}$ 是定义域 $\text{[math]}$ 上的“ $\text{[math]}$ 利普希兹条件函数”，求常数 $\text{[math]}$ 的最小值；

(3) 是否存在实数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 是定义域 $\text{[math]}$ 上的“ $\text{[math]}$ 利普希兹条件函数”，若存在，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围，若不存在，请说明理由.

解答题困难

2. 已知函数 $\text{[math]}$ .

(1) 设 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，试判断 $\text{[math]}$ 是否有最小值，若有，求出最小值；若没有，说明理由；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题普通

3. 已知函数 $\text{[math]}$ 为定义在 $\text{[math]}$ 上的奇函数.

(1) 求实数 $\text{[math]}$ 的值；

(2) （i）证明： $\text{[math]}$ 为单调递增函数；

（ii） $\text{[math]}$ ，若不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，求非零实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.

解答题困难