设全集，集合A是U的真子集．设正整数，若集合A满足如下三个性质，则称A为U的子集：①；② ，若，则；③ ，若，则．

1. 设全集 $\text{[math]}$ ，集合A是U的真子集．设正整数 $\text{[math]}$ ，若集合A满足如下三个性质，则称A为U的 $\text{[math]}$ 子集：

① $\text{[math]}$ ；

② $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；

③ $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，判断 $\text{[math]}$ 是否为U的 $\text{[math]}$ 子集，说明理由；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，若A为U的 $\text{[math]}$ 子集，求证： $\text{[math]}$ ；

(3) 当 $\text{[math]}$ 时，若A为U的 $\text{[math]}$ 子集，求集合A．

【考点】

集合的含义; 元素与集合的关系; 子集与真子集; 反证法的应用;

【答案】

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解答题困难

1. 已知R的子集U为一个数集，集合 $\text{[math]}$ .

(1) 设 $\text{[math]}$ ，求：集合A的非空真子集个数；

(2) 设 $\text{[math]}$ ，证明：若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

解答题普通

2. 已知集合 $\text{[math]}$ 具有性质 $\text{[math]}$ ：对任意 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 至少一个属于 $\text{[math]}$ .

(1) 分别判断集合 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是否具有性质P，并说明理由；

(2) $\text{[math]}$ 具有性质P，当 $\text{[math]}$ 时，求：集合A；

(3) 当 $\text{[math]}$ 时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的值.

解答题困难

3. 已知集合 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，规定：集合 $\text{[math]}$ 中元素的个数为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，则称集合 $\text{[math]}$ 是集合 $\text{[math]}$ 的衍生和集．

(1) 当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，分别写出集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的衍生和集；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，求集合 $\text{[math]}$ 的衍生和集 $\text{[math]}$ 的元素个数的最大值和最小值．

解答题困难