如图1所示，刚性导体线框由长为L、质量均为m的两根竖杆，与长为的两轻质横杆组成，且。线框通有恒定电流，可以绕其中心竖直轴转动。以线框中心O为原点、转轴为z轴建立直角坐标系，在y轴上距离O为a处，固定放置二半径远小于a，面积为S、电阻为R的小圆环，其平面垂直于y轴。在外力作用下，通电线框绕转轴以角速度匀速转动，当线框平面与平面重合时为计时零点，圆环处的磁感应强度的y分量与时间的近似关系如图2所示，图中已知。

1. 如图1所示，刚性导体线框由长为L、质量均为m的两根竖杆，与长为 $\text{[math]}$ 的两轻质横杆组成，且 $\text{[math]}$ 。线框通有恒定电流 $\text{[math]}$ ，可以绕其中心竖直轴转动。以线框中心O为原点、转轴为z轴建立直角坐标系，在y轴上距离O为a处，固定放置二半径远小于a，面积为S、电阻为R的小圆环，其平面垂直于y轴。在外力作用下，通电线框绕转轴以角速度 $\text{[math]}$ 匀速转动，当线框平面与 $\text{[math]}$ 平面重合时为计时零点，圆环处的磁感应强度的y分量 $\text{[math]}$ 与时间的近似关系如图2所示，图中 $\text{[math]}$ 已知。

(1) 求0到 $\text{[math]}$ 时间内，流过圆环横截面的电荷量q；

(2) 沿y轴正方向看以逆时针为电流正方向，在 $\text{[math]}$ 时间内，求圆环中的电流与时间的关系；

(3) 求圆环中电流的有效值；

(4) 当撤去外力，线框将缓慢减速，经 $\text{[math]}$ 时间角速度减小量为 $\text{[math]}$ ，设线框与圆环的能量转换效率为k，求 $\text{[math]}$ 的值（当 $\text{[math]}$ ，有 $\text{[math]}$ ）。

【考点】

电磁感应中的电路类问题; 电磁感应中的图像类问题;

【答案】

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综合题普通

1. 光滑的水平长直轨道放在匀强磁场 $\text{[math]}$ 中，轨道宽 $\text{[math]}$ ，一导体棒长也为 $\text{[math]}$ ，质量 $\text{[math]}$ ，电阻 $\text{[math]}$ ，它与导轨接触良好。当开关与a接通时，电源可提供恒定的 $\text{[math]}$ 电流，电流方向可根据需要进行改变，开关与b接通时，电阻 $\text{[math]}$ ，若开关的切换与电流的换向均可在瞬间完成，求：

(1) 当棒中电流由M流向N时，棒的加速度的大小和方向是怎样的；

(2) 当开关始终接a，要想在最短时间内使棒向左移动 $\text{[math]}$ 而静止，则棒的最大速度是多少；

(3) 要想棒在最短时间内向左移动 $\text{[math]}$ 而静止，则棒中产生的焦耳热是多少。

综合题困难

2. 如图所示，间距为d、折成直角的 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 金属导轨水平部分QF、PE足够长，竖直部分FG、EH底端接有电动势为E的电源和开关K，M、N两点间接有电容为C的电容器。倾角为 $\text{[math]}$ 的倾斜金属轨道TD、SC，间距也为d，S、T两点间接有自感系数为L的电感线圈。水平轨道和倾斜轨道用长度为l的水平粗糙绝缘材料平滑连接。整个空间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B。闭合开关K，电容器充电完毕后断开开关，并将质量为m、长度为d的金属杆ab从倾斜轨道上某一位置由静止释放，下滑过程中流过ab杆的电流大小为 $\text{[math]}$ （x为杆沿斜轨道下滑的距离）。ab杆到达倾斜轨道底端CD处时加速度恰好为0，通过粗糙绝缘材料到达PQ处时速度为 $\text{[math]}$ 。已知 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 。不计除绝缘材料外的一切摩擦与空气阻力，不计电感线圈、金属杆ab及导轨的电阻。ab杆始终与导轨垂直且接触良好。求：（提示：力F与位移x共线时，可以用 $\text{[math]}$ 图像下的“面积”代表力F所做的功）

(1) 电容器充电完毕所带的电荷量Q；

(2) ab杆释放处距水平轨道的高度h；

(3) ab杆从EF处飞出时的速度v；

(4) ab杆与粗糙绝缘材料的动摩擦因数 $\text{[math]}$ 。

综合题困难

3. 如图所示，电池通过开关 $\text{[math]}$ 与两根光滑水平轨道相连接，轨道的S、T两处各有一小段绝缘，其它位置电阻不计，轨道间L=1m，足够长的区域MNPO内有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度 $\text{[math]}$ =0.5T，QR右侧足够长的区域内有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度 $\text{[math]}$ =0.5T，O、P两处各有一微微突起的导电结点，结点不影响金属棒通过。轨道右端电阻 $\text{[math]}$ =0.1Ω，P与R间有一开关 $\text{[math]}$ 。轨道上放置三根质量m=0.03kg、电阻r=0.1Ω的相同金属棒，金属棒甲位于 $\text{[math]}$ 磁场内的左侧；金属棒乙用较长绝缘细线悬挂在 $\text{[math]}$ 磁场外靠近OP边界的右侧，且与导电结点无接触；金属棒丙位于 $\text{[math]}$ 磁场内的左侧。闭合K₁ ，金属棒甲向右加速，达到稳定后以 $\text{[math]}$ =2m/s速度与金属棒乙碰撞形成一个结合体向右摆起。此时立即断开 $\text{[math]}$ 并闭合 $\text{[math]}$ ，当两棒结合体首次回到OP时，恰与导电结点接触(无碰撞)，此时导体棒丙获得向右的速度。两棒结合体首次向左摆到最大高度h=0.032m处被锁止。空气阻力不计，不考虑装置自感。求：

(1) 电池电动势E的大小；

(2) 碰后瞬间甲、乙结合体的速度大小 $\text{[math]}$ ；

(3) 结合体与导电结点接触过程，通过金属棒丙的电荷量q；

(4) 全过程金属棒丙产生的焦耳热Q。

综合题困难