如图所示，一个半径为的不导电薄球壳均匀带正电，电荷量为。它在球外某点产生场强的方向沿球心与此点的连线向外。将它在空间某点产生场强的大小用表示，则其电场强度在空间的分布可表示为：，其中为空间某点到球心的距离，为静电力常量。

1. 如图所示，一个半径为 $\text{[math]}$ 的不导电薄球壳均匀带正电，电荷量为 $\text{[math]}$ 。它在球外某点产生场强的方向沿球心 $\text{[math]}$ 与此点的连线向外。将它在空间某点产生场强的大小用 $\text{[math]}$ 表示，则其电场强度在空间的分布可表示为： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为空间某点到球心 $\text{[math]}$ 的距离， $\text{[math]}$ 为静电力常量。

(1) 在如图所示球壳外的一点 $\text{[math]}$ 处放置一个带正电、电荷量为 $\text{[math]}$ 的试探电荷，已知点 $\text{[math]}$ 到球心 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ ，求：

a．试探电荷所受电场力的大小 $\text{[math]}$ ；

b．若将该试探电荷从 $\text{[math]}$ 点向远离球心的方向移动一段非常小的距离 $\text{[math]}$ ，求电势能的变化量 $\text{[math]}$ （球壳上电荷的分布不会发生变化）。

(2) 球壳表面上的电荷之间也有着相互作用的静电力，因而球壳自身就具有能量，称为静电能。已知半径为 $\text{[math]}$ ，电荷量为 $\text{[math]}$ 的均匀带电薄球壳，所具有的静电能的表达式为 $\text{[math]}$ （以无穷远为电势零点）。

a．请分析并说明带正电球壳表面单位面积上电荷所受电场力的方向；

b．将球壳表面单位面积上电荷所受电场力的大小用 $\text{[math]}$ 表示，请根据电场力做功与电势能变化的关系 $\text{[math]}$ ，推导出 $\text{[math]}$ 。

【考点】

电场及电场力; 电势能;

【答案】

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综合题困难

1. 如图所示，将一个质量为m、电荷量为q的带正电的的小球用长为L的绝缘细线悬挂在O点，小球处在水平向左的匀强电场中，当带电小球在A点达到平衡后，细线与竖直方向间的夹角为45°，现将小球向右拉紧至与O点等高的B点由静止释放，重力加速度大小为g，求：

(1) 匀强电场电场强度的大小；

(2) 小球运动到最低点时速度的大小（悬线开始绷紧前）

(3) 小球在最低点时，悬线绷紧后，其所受拉力大小．

综合题普通

2. 如图所示，轻质细绳上端固定，下端连接一个可视为质点的带电小球，小球静止在水平向右的匀强电场中，绳与竖直方向的夹角θ=37°。已知小球所带电荷量q=1.0×10^-6C，匀强电场的场强E=3.0×10³N/C，取重力加速度g=10m/s² ， sin37°=0.6，cos37°=0.8。求：

(1) 小球所受静电力F的大小；

(2) 小球的质量m；

(3) 剪断细绳后2s末，小球的速度v的大小。

综合题普通

3. 在一个点电荷 $\text{[math]}$ 的电场中， $\text{[math]}$ 坐标轴与它的一条电场线重合，坐标轴上 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点的坐标分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 。放在 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点的、均带负电的试探电荷受到的电场力方向都跟 $\text{[math]}$ 轴的正方向相同，电场力的大小跟试探电荷所带电荷量的关系图象如图中直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 所示。求：

(1) $\text{[math]}$ 点的电场强度的大小和方向；

(2) 点电荷 $\text{[math]}$ 的位置坐标。

综合题普通