如图，是等边三角形，是等腰三角形，且，，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交，边于M，N两点，连接，延长至E，使，连接．

1. 如图， $\text{[math]}$ 是等边三角形， $\text{[math]}$ 是等腰三角形，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 边于M，N两点，连接 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 至E，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 请在横线上写出角的度数，补充 $\text{[math]}$ 的证明过程．

证明：∵ $\text{[math]}$ 是等边三角形，∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．

∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， ∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．

∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．

∵ $\text{[math]}$ ， ∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．

即 $\text{[math]}$ ；

(2) 求证： $\text{[math]}$ ．

【考点】

等边三角形的性质; 三角形全等的判定-SAS;

【答案】

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综合题普通

1. 已知：线段 $\text{[math]}$ 及过点A的直线l．如果线段 $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 关于直线l对称，连接 $\text{[math]}$ 交直线l于点D，以 $\text{[math]}$ 为边作等边 $\text{[math]}$ ，使得点E在 $\text{[math]}$ 的下方，作射线 $\text{[math]}$ 交直线l于点F，连结 $\text{[math]}$ ．

(1) 根据题意补全图形；

(2) 如果 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

① $\text{[math]}$ ▲ ；（用含有 $\text{[math]}$ 代数式表示）

②用等式表示线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并证明．

综合题普通

2. $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是等边三角形，当 $\text{[math]}$ 绕点A旋转到图1的位置时，连接连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 请猜想线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间有怎样的数量关系？并加以证明；

(2) 将 $\text{[math]}$ 绕点A旋转到图2的位置时，其他条件不变，请直接写出线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，不需要证明．

综合题普通

3. 在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线.动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边△CDE，连接BE.

(1) 若点D在线段AM上时（如图1），则ADBE（填“＞”、“＜”或“＝”），∠CAM＝度；

(2) 设直线BE与直线AM的交点为O.

①当动点D在线段AM的延长线上时（如图2），试判断AD与BE的数量关系，并说明理由；

②当动点D在直线AM上时，试判断∠AOB是否为定值？若是，请直接写出∠AOB的度数；若不是，请说明理由.

综合题困难