某校高二年级共有1000名学生，分为20个班，每班50人.为方便教学，将学生分为两个层次，其中A层次4个班，共200人，B层次16个班，共800人.某次数学考试，A层次200名学生成绩的频率分布直方图如图所示.

1. 某校高二年级共有1000名学生，分为20个班，每班50人.为方便教学，将学生分为 $\text{[math]}$ 两个层次，其中A层次4个班，共200人，B层次16个班，共800人.某次数学考试，A层次200名学生成绩的频率分布直方图如图所示.

(1) 根据频率分布直方图，估计A层次200名学生的平均成绩 $\text{[math]}$ 和方差 $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ 层次800名学生的平均成绩为 $\text{[math]}$ 分，方差为 $\text{[math]}$ .试根据以上数据估计该校高二整个年级此次考试的平均分 $\text{[math]}$ 和方差 $\text{[math]}$

【考点】

频率分布直方图; 众数、中位数、平均数; 极差、方差与标准差;

【答案】

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解答题普通

1. 随着高校强基计划招生的持续开展，我市高中生抓起了参与数学兴趣小组的热潮．为调查我市高中生对数学学习的喜好程度，从甲、乙两所高中各随机抽取了 $\text{[math]}$ 名学生，记录他们在一周内平均每天学习数学的时间，并将其分成了 $\text{[math]}$ 个区间： $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，整理得到如下频率分布直方图：

(1) 求图1中 $\text{[math]}$ 的值，并估计甲高中学生一周内平均每天学习数学时间的众数；

(2) 估计乙高中学生一周内平均每天学习数学时间的均值 $\text{[math]}$ 及方差 $\text{[math]}$ （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(3) 若从甲、乙两所高中分别抽取样本量为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的两个样本，经计算得它们的平均数和方差分别为： $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，记总的样本平均数为 $\text{[math]}$ ，样本方差为 $\text{[math]}$ ，证明：

① $\text{[math]}$ ；

② $\text{[math]}$ ．

解答题困难

2. 某校高三年级甲班 $\text{[math]}$ 名学生在一次期中考试中，数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 其中 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 根据甲班数学成绩的频率分布直方图，估计甲班数学成绩的平均分；

(2) 求数学成绩的第 $\text{[math]}$ 百分位数．

解答题普通

3. 某校对参加亚运知识竞赛的100名学生的成绩进行统计，分成 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 五组，得到如图所示频率分布直方图．

(1) 估计该校参加亚运知识竞赛的学生成绩的众数和平均数；

(2) 估计该校参加亚运知识竞赛的学生成绩的80%分位数．

解答题普通