如图，正三角形、正方形、正六边形等正n边形与圆的形状有差异，我们将正n边形与圆的接近程度称为“接近度”.

1. 如图，正三角形、正方形、正六边形等正n边形与圆的形状有差异，我们将正n边形与圆的接近程度称为“接近度”.

(1) 角的“接近度”定义：设正n边形的每个内角的度数为 $\text{[math]}$ ，将正n边形的“接近度”定义为 $\text{[math]}$ .于是 $\text{[math]}$ 越小，该正n边形就越接近于圆，

①若 $\text{[math]}$ ，则该正n边形的“接近度”等于.

②若 $\text{[math]}$ ，则该正n边形的“接近度”等于.

③当“接近度”等于.时，正n边形就成了圆.

(2) 边的“接近度”定义：设一个正n边形的外接圆的半径为R，正n边形的中心到各边的距离为d，将正n边形的“接近度”定义为 $\text{[math]}$ .分别计算 $\text{[math]}$ 时边的“接近度”，并猜测当边的“接近度”等于多少时，正n边形就成了圆？

【考点】

三角形的外接圆与外心; 圆内接正多边形; 锐角三角函数的定义; 定义新运算;

【答案】

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综合题普通

1. 我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆.如图，将△ABC放在每个小正方形边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上.

(1) 用无刻度直尺画出△ABC的最小覆盖圆的圆心（保留作图痕迹）；

(2) 该最小覆盖圆的半径是.

综合题普通

(1) 问题提出

如图①， $\text{[math]}$ 内接于半径为4的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中位线，则 $\text{[math]}$ 的最大值是；

(2) 问题探究

如图②，在等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 边上的中线 $\text{[math]}$ ，求等腰 $\text{[math]}$ 外接圆的半径；

(3) 问题解决

如图③，工人师傅现要在一张足够大的板材上剪裁出一个形状为 $\text{[math]}$ 的部件，已知 $\text{[math]}$ 的部件要满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 边上的中线 $\text{[math]}$ ，且边 $\text{[math]}$ 与边 $\text{[math]}$ 之和要最大，是否能剪裁出满足要求的三角形部件？若能，请求出 $\text{[math]}$ 的最大值；若不能，请说明理由.

综合题困难

3. 圆周率 $\text{[math]}$ 的故事

我国古代数学家刘徽通过“割圆术”来估计圆周率 $\text{[math]}$ 的值——“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，可以理解为当正多边形的边数越来越多时，该正多边形与它的外接圆越来越“接近”，这样就可以用正多边形的周长替代它的外接圆的周长，从而估算出圆周率 $\text{[math]}$ 的值.

(1) 对于边长为a的正方形，其外接圆半径为，根据故事中的方法，用该正方形的周长4a替代它的外接圆周长，利用公式 $\text{[math]}$ ，可以估算 $\text{[math]}$ .

(2) 类比（1），当正多边形为正六边形时，估计 $\text{[math]}$ 的值.

综合题普通