我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆.如图，将△ABC放在每个小正方形边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上.

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1. 我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆.如图，将△ABC放在每个小正方形边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上.

(1) 用无刻度直尺画出△ABC的最小覆盖圆的圆心（保留作图痕迹）；

(2) 该最小覆盖圆的半径是.

【考点】

三角形的外接圆与外心;

【答案】

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综合题普通

(1) 问题提出

如图①， $\text{[math]}$ 内接于半径为4的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中位线，则 $\text{[math]}$ 的最大值是；

(2) 问题探究

如图②，在等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 边上的中线 $\text{[math]}$ ，求等腰 $\text{[math]}$ 外接圆的半径；

(3) 问题解决

如图③，工人师傅现要在一张足够大的板材上剪裁出一个形状为 $\text{[math]}$ 的部件，已知 $\text{[math]}$ 的部件要满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 边上的中线 $\text{[math]}$ ，且边 $\text{[math]}$ 与边 $\text{[math]}$ 之和要最大，是否能剪裁出满足要求的三角形部件？若能，请求出 $\text{[math]}$ 的最大值；若不能，请说明理由.

综合题困难

2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90，AD平分∠BAC，过A，C，D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．

(1) 求证：AC=AE；

(2) 若AC=6，CB=8，求△ACD的外接圆的直径．

综合题普通

3. 我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段 $\text{[math]}$ 的最小覆盖圆就是以线段 $\text{[math]}$ 为直径的圆．

(1) 请分别作出图①中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

(2) 三角形的最小覆盖圆有何规律？请直接写出你所得到的结论（不要求证明）；

(3) 某城市有四个小区 $\text{[math]}$ （其位置如图②所示），现拟建一个手机信号基站，为了使这四个小区居民的手机都能有信号，且使基站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此基站应建在何处？请写出你的结论并说明研究思路．

综合题困难