若数列的子列均为等差数列，则称为k阶等差数列．

1. 若数列 $\text{[math]}$ 的子列 $\text{[math]}$ 均为等差数列，则称 $\text{[math]}$ 为k阶等差数列．

(1) 若 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 的前15项与 $\text{[math]}$ 的前15项中相同的项构成数列 $\text{[math]}$ ，写出 $\text{[math]}$ 的各项，并求 $\text{[math]}$ 的各项和；

(2) 若数列 $\text{[math]}$ 既是3阶也是4阶等差数列，设 $\text{[math]}$ 的公差分别为 $\text{[math]}$ ．

（ⅰ）判断 $\text{[math]}$ 的大小关系并证明；

（ⅱ）求证：数列 $\text{[math]}$ 是等差数列．

【考点】

等差数列的性质; 数列的递推公式;

【答案】

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解答题困难

1. 设 $\text{[math]}$ 为给定的正奇数，定义无穷数列 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ 是数列 $\text{[math]}$ 中的项，则记作 $\text{[math]}$ .

(1) 若数列 $\text{[math]}$ 的前6项各不相同，写出 $\text{[math]}$ 的最小值及此时数列的前6项；

(2) 求证：集合 $\text{[math]}$ 是空集；

(3) 记集合 $\text{[math]}$ 正奇数 $\text{[math]}$ ，求集合 $\text{[math]}$ .

（若 $\text{[math]}$ 为任意的正奇数，求所有数列 $\text{[math]}$ 的相同元素构成的集合 $\text{[math]}$ .）

解答题困难

2. 已知数列A： $\text{[math]}$ 的各项均为正整数，设集合 $\text{[math]}$ ，记T的元素个数为 $\text{[math]}$ ．

(1) 若数列A：1，2，4，3，求集合T ，并写出 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 若A是递增数列，求证：“ $\text{[math]}$ ”的充要条件是“A为等差数列”；

(3) 若 $\text{[math]}$ ，数列A由 $\text{[math]}$ 这 $\text{[math]}$ 个数组成，且这 $\text{[math]}$ 个数在数列A中每个至少出现一次，求 $\text{[math]}$ 的取值个数．

解答题困难

3. 数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ ，设数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，且满 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求数列 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的通项公式；

(2) 是否存在 $\text{[math]}$ ，使得对任意的 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ．

解答题普通