设数列{an}的前n项和为Sn ，满足2Sn=an+1﹣2n+1+1，n∈N* ，且a1 ， a2+5，a3成等差数列．

1. 设数列{a_n}的前n项和为S_n ，满足2S_n=a_n+1﹣2ⁿ⁺¹+1，n∈N^* ，且a₁ ， a₂+5，a₃成等差数列．

(1) 求a₁的值；

(2) 求数列{a_n}的通项公式；

(3) 证明：对一切正整数n，有 $\text{[math]}$ ．

【考点】

等差数列的性质; 数列的递推公式; 数列与不等式的综合;

【答案】

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解答题普通

1. 已知 $\text{[math]}$ 为有穷正整数数列，其最大项的值为 $\text{[math]}$ ，且当 $\text{[math]}$ 时，均有 $\text{[math]}$ ．设 $\text{[math]}$ ，对于 $\text{[math]}$ ，定义 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 表示数集 $\text{[math]}$ 中最小的数．

(1) 若 $\text{[math]}$ ，写出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值；

(2) 若存在 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值；

(3) 当 $\text{[math]}$ 时，证明：对所有 $\text{[math]}$ ．

解答题困难

2. 已知数列 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ . 记 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和分别为 $\text{[math]}$ ，规定 $\text{[math]}$ .记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，写出 $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，写出所有满足条件的数列 $\text{[math]}$ ，并说明理由；

(3) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ . 证明： $\text{[math]}$ ，

使得 $\text{[math]}$ .

解答题困难

3. 设等差数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 是首项为1公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列，其前n项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，对任意 $\text{[math]}$ 恒成立.

(1) 求数列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的通项公式；

(2) 设 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 对任意 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.

解答题困难