情景观察：如图1，中，，，，，垂足分别为，，与交于点．

1. 情景观察：

如图1， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，垂足分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 写出图1中所有的全等三角形；

(2) 线段 $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 的数量关系是 $\text{[math]}$ ，并写出证明过程：

(3) 问题探究：如图2，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ．

【考点】

三角形全等的判定; 角平分线的概念;

【答案】

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综合题普通

1. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 上截取 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．在 $\text{[math]}$ 的外部作 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点E．

(1) 作图与探究：

①小明画出图1并猜想 $\text{[math]}$ ．同学小亮说“要让你这个结论成立，需要增加条件： $\text{[math]}$ ▲ °．”

请写出小亮所说的条件；

②小明重新画出图2并猜想 $\text{[math]}$ ．他证明的简要过程如下：

请你判断小明的证明是否正确并说明理由；

(2) 证明与拓展：

①借助小明画出的图2证明 $\text{[math]}$ ；

②延长 $\text{[math]}$ 到F，使 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ．补全图形，猜想 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系并加以证明．

综合题普通

2. 以△ABC的AB，AC为边作△ABD和△ACE，且AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠CAE＝α.CD与BE相交于O，连接AO，如图①所示.

(1) 求证：BE＝CD；

(2) 判断∠AOD与∠AOE的大小，并说明理由.

(3) 在EB上取使F，使EF＝OC，如图②，请直接写出∠AFO与α的数量关系.

综合题困难

3. 如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D，AC和DB相交于点O，OA＝OD.

(2) △ABC≌△DCB.

综合题普通