已知AB是⊙O的直径，BD为⊙O的切线，切点为B．过⊙O上的点C作，交BD点D．连接AC，BC．

1. 已知AB是⊙O的直径，BD为⊙O的切线，切点为B．过⊙O上的点C作 $\text{[math]}$ ，交BD点D．连接AC，BC．

(1) 如图①，若DC为⊙O的切线，切点为C．求∠BCD和∠DBC的大小；

(2) 如图②，当CD与⊙O交于点E时，连接BE．若∠EBD＝30°，求∠BCD和∠DBC的大小．

【考点】

角的运算; 圆周角定理; 切线的性质;

【答案】

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综合题普通

1. 如图AB是半圆的直径，图1中，点C在半圆外；图2中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图．

(1) 在图1中，画出△ABC的三条高的交点；

(2) 在图2中，画出△ABC中AB边上的高．

综合题普通

2. 如图，△ABC内接于 $\text{[math]}$ ，弦CD、BE相交于点 $\text{[math]}$ .

(1) 如图1，求证：AB为 $\text{[math]}$ 的直径；

(2) 如图2，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

(3) 如图3，在(2)的条件下，CD与AB相交于点 $\text{[math]}$ ，连接GH并延长交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接DK，沿DK所在直线作劣弧DK的轴对称图形经过点 $\text{[math]}$ ，求线段DE的长度.

综合题困难

3. 如图，AD是△ABC外角∠EAC的平分线，AD与△ABC的外接圆⊙O交于点D．

(1) 求证：DB＝DC；

(2) 若∠CAB＝30°，BC＝4，求劣弧 $\text{[math]}$ 的长度．

综合题普通