如图，在长方形ABCD中，将△ABC沿AC对折至△AEC位置，CE与AD交于点F．

1. 如图1，矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点P在边 $\text{[math]}$ 上，且不与点B、C重合，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的延长线交于点E.

(1) 当点P是 $\text{[math]}$ 的中点时，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 将 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 折叠得到 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 落在矩形 $\text{[math]}$ 的内部，延长 $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 于点F.

①证明 $\text{[math]}$ ，并求出在（1）条件下 $\text{[math]}$ 的值；

②连接 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 周长的最小值；

③如图2， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点H，点G是 $\text{[math]}$ 的中点，当 $\text{[math]}$ 时，请判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并说明理由.