已知：正方形ABCD，过点D作直线DE，点C关于直线DE的对称点为，连接，作直线交直线DE于点P．

1. 已知：正方形ABCD，过点D作直线DE，点C关于直线DE的对称点为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，作直线 $\text{[math]}$ 交直线DE于点P．

(1) 补全图形；

(2) 判断 $\text{[math]}$ 的形状并证明；

(3) 猜想线段PA，PC，PD的数量关系并证明．

【考点】

等腰三角形的判定; 正方形的性质; 等腰直角三角形;

【答案】

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综合题普通

1. 如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上，连接DE，点F在边BC的延长线上，且CF＝AE，连接DF，EF，取EF中点G，连接DG并延长交BC于H，连接BG，且∠EGB＝45°．

(1) 依题意，补全图形；

(2) 求证：DE⊥DF；

(3) 用等式表示线段BG，GH与EF之间的数量关系，并证明．

综合题普通

2. 如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上任意一点，请你仅用无刻度直尺，分别在图1、图2中按要求作图(保留作图痕迹，不这写作法)

(1) 在图1中，在AB边上求作一点N，连接CN，使得CN=AM；

(2) 在图2 中，在AD边上求作一点Q，连接CQ，使得CQ=AM．

综合题普通

3. 如图1，在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 延长线上一点，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 试说明： $\text{[math]}$ ；

(2) 在图1中，若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 成立吗？为什么？

(3) 根据你所学的知识，运用（1）、（2）解答中积累的经验，完成下题：

如图2，在直角梯形ABCD中，BC∥AD(BC＞AD)，∠B=90°，AB=BC=6，E 是AB 的中点，且∠DCE＝45°，BE=2，求DE的长.

综合题困难