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1. 【发现问题】

小明在练习簿的横线上取点为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律．

【提出问题】

小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上．

(1) 【分析问题】

小明利用已学知识和经验，以圆心为原点，过点的横线所在直线为轴，过点且垂直于横线的直线为轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示．当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为．
(2) 【解决问题】

请帮助小明验证他的猜想是否成立．
(3) 【深度思考】

小明继续思考：设点 ， 为正整数，以为直径画 ， 是否存在所描的点在上．若存在，求的值；若不存在，说明理由．
【考点】
坐标与图形性质; 勾股定理; 二次函数图象上点的坐标特征; 二次函数y=ax²+bx+c的图象; 坐标系中的两点距离公式;
【答案】

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综合题 困难
能力提升
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1. 问题情境：

在平面直角坐标系xOy中有不重合的两点A（x1 ， y1）和点B（x2 ， y2），小明在学习中发现，若x1＝x2 ， 则AB∥y轴，且线段AB的长度为|y1﹣y2|；若y1＝y2 ， 则AB∥x轴，且线段AB的长度为|x1﹣x2|；

(1) （应用）：

①若点A（﹣1，1）、B（2，1），则AB∥x轴，AB的长度为.

②若点C（1，0），且CD∥y轴，且CD＝2，则点D的坐标为.
(2) （拓展）：

我们规定：平面直角坐标系中任意不重合的两点M（x1 ， y1），N（x2 ， y2）之间的折线距离为d（M，N）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|；例如：图1中，点M（﹣1，1）与点N（1，﹣2）之间的折线距离为d（M，N）＝|﹣1﹣1|+|1﹣（﹣2）|＝2+3＝5.

解决下列问题：

①如图1，已知E（2，0），若F（﹣1，﹣2），则d（E，F）；

②如图2，已知E（2，0），H（1，t），若d（E，H）＝3，则t＝.

③如图3，已知P（3，3），点Q在x轴上，且三角形OPQ的面积为3，则d（P，Q）＝.
综合题 普通
2. 对于平面直角坐标系xOy中的任意两点M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），给出如下定义：点M与点N的“折线距离”为：d（M，N）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．

例如：若点M（﹣1，1），点N （2，﹣2），则点M与点N的“折线距离”为：d（M，N）＝|﹣1﹣2|+|1﹣（﹣2）|＝3+3＝6．

根据以上定义，解决下列问题：

(1) 已知点P （3，﹣2）．

①若点A（﹣2，﹣1），则d（P，A）＝；

②若点B（b，2），且d（P，B）＝5，则b＝；
(2) 已知点C（m，n）是直线y＝﹣x上的一个动点，且d（P，C）＜3，求m的取值范围．
(3) ⊙F的半径为1，圆心F的坐标为（0，t），若⊙F上存在点E，使d（E，O）＝2，直接写出t的取值范围．
综合题 困难
3. 在平面直角坐标系xOy中，对于P、Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P、Q两点为“等距点”，如图中的P、Q两点即为“等距点”．

(1) 已知点A的坐标为（﹣3，1）

①在点E（0，3）、F（3，﹣3）、G（2，﹣5）中，点A的“等距点”是；

②若点B在直线y＝x+6上，且A、B两点为“等距点”，则点B的坐标为；
(2) 直线l：y＝kx﹣3（k＞0）与x轴交于点C，与y轴交于点D．

①若T1（﹣1，t1）、T2（4，t2）是直线l上的两点，且T1、T2为“等距点”，求k的值；

②当k＝1时，半径为r的⊙O上存在一点M，线段CD上存在一点N，使得M、N两点为“等距点”，直接写出r的取值范围．
综合题 困难