如图，在直三棱柱中，，且，点为线段上的动点.

1. 如图，在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上的动点.

(1) 当 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 中点时，求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离；

(2) 当直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正切值为 $\text{[math]}$ 时，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.

【考点】

点、线、面间的距离计算; 二面角及二面角的平面角;

【答案】

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解答题普通

1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，沿 $\text{[math]}$ 将 $\text{[math]}$ 折起形成三棱锥 $\text{[math]}$ .

(1) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在面 $\text{[math]}$ 上的射影恰好在 $\text{[math]}$ 上，求二面角 $\text{[math]}$ 平面角的余弦值；

(2) 若二面角 $\text{[math]}$ 为直二面角，当 $\text{[math]}$ 取到最小值时，求 $\text{[math]}$ 的值及点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离.

解答题困难

2. （阅读材料）数学命题的推广是数学发展不可缺少的一种手段，同时也是一项富有挑战性和创造性的活动.我们知道，在 $\text{[math]}$ 中，记角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，边与角的关系满足正弦定理： $\text{[math]}$ .下面是正弦定理在空间中的一种推广：在对棱分别相等的三棱锥中，侧棱和其所对二面角的正弦值之比相等.如：在三棱锥 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 所对的二面角 $\text{[math]}$ 的大小为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所对的二面角 $\text{[math]}$ 的大小为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所对的二面角 $\text{[math]}$ 的大小为 $\text{[math]}$ .满足： $\text{[math]}$ .根据以上阅读材料，解答以下两个问题：

(1) 正四面体 $\text{[math]}$ 中，已知棱长 $\text{[math]}$ ，二面角 $\text{[math]}$ 的大小为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 已知长方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，容易得出：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的大小.

解答题普通

3. 已知正方形 $\text{[math]}$ 的边长为1， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点.

(1) 求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离；

(2) 求直线 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离.

解答题普通