如图，在中，， .

1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 在BC上求作点D，使得点D到AB，AC两边的距离相等；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

(2) 在（1）的条件下，求证： $\text{[math]}$ .

【考点】

角平分线的性质; 等腰直角三角形; 三角形全等的判定-AAS; 尺规作图-作角的平分线;

【答案】

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综合题普通

1. 综合与实践

数学活动课上，老师让同学们以“过等腰三角形顶点的直线”为主题开展数学探究.

(1) 操作发现：如图甲，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，直线l经过点A.小华分别过B、C两点作直线l的垂线，垂足分别为点D、E.易证 $\text{[math]}$ ，此时，线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的数量关系为：；

(2) 拓展应用：

如图乙， $\text{[math]}$ 为等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ，已知点C的坐标为 $\text{[math]}$ ，点B的坐标为 $\text{[math]}$ .请利用小华的发现直接写出点A的坐标：；

(3) 迁移探究：

①如图丙，小华又作了一个等腰 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，她在直线l上取两点D、E，使得 $\text{[math]}$ ，请你帮助小华判断（1）中线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的数量关系是否变化，若不变，请证明；若变化，写出它们的关系式并说明理由；

②如图丁， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D、E在直线 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，请直接写出线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的数量关系.

综合题困难

2. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ .

(1) 当直线 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转到图1的位置时，求证：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；

(2) 当直线 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转到图2的位置时，求证： $\text{[math]}$ ；

综合题困难

3. 如图，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 用直尺和圆规作出 $\text{[math]}$ 的角平分线交 $\text{[math]}$ 于点D，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；

(2) 在（1）的基础上，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数.

综合题普通