某学校组织教职工运动会，新增加的“趣味乒乓球单打”是这届运动会的热门项目.比赛规则如下：两人对垒，开局前抽签决定由谁先发球(机会均等)，此后均由每个球的赢球者发下一个球.对于每一个球，若发球者赢此球，发球者得1分，对手得0分；若对手赢得此球，发球者得0分，对手得2分；有一人得6分及以上或是两人分差达3分时比赛均结束，得分高者获胜.已知在选手甲和乙的对垒中，甲发球时甲赢得此球的概率是0.6，乙发球时甲赢得此球的概率是0.5，各球结果相互独立.

1. 某学校组织教职工运动会，新增加的“趣味乒乓球单打”是这届运动会的热门项目.比赛规则如下：两人对垒，开局前抽签决定由谁先发球(机会均等)，此后均由每个球的赢球者发下一个球.对于每一个球，若发球者赢此球，发球者得1分，对手得0分；若对手赢得此球，发球者得0分，对手得2分；有一人得6分及以上或是两人分差达3分时比赛均结束，得分高者获胜.已知在选手甲和乙的对垒中，甲发球时甲赢得此球的概率是0.6，乙发球时甲赢得此球的概率是0.5，各球结果相互独立.

(1) 假设开局前抽签结果是甲发第一个球，求三次发球后比赛结束的概率；

(2) 在某局3∶3平后，接下来由甲发球，两人又打了X个球后比赛结束，求X的分布列及数学期望.

【考点】

互斥事件的概率加法公式; 等可能事件的概率; 相互独立事件的概率乘法公式; 离散型随机变量及其分布列; 离散型随机变量的期望与方差;

【答案】

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解答题普通

1. 乒乓球被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目．已知某次乒乓球比赛单局赛制为：每两球交换发球权，每赢1球得1分，先得11分者获胜．当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜．若单局比赛中，甲发球时获胜的概率为 $\text{[math]}$ ，甲接球时获胜的概率为 $\text{[math]}$ ．

(1) 当某局打成10∶10平后，甲先发球，求“两人又打了4个球且获胜”的概率；

(2) 在单局比赛中，假如甲先发球，求甲最终11∶2获胜的概率．

解答题普通

2. 某百科知识竞答比赛的半决赛阶段，每两人一组进行PK，胜者晋级决赛，败者终止比赛.比赛最多有三局.第一局限时答题，第二局快问快答，第三局抢答.比赛双方首先各自进行一局限时答题，依据答对题目数量，答对多者获胜，比赛结束，答对数量相等视为平局，则需进入快问快答局；若快问快答平局，则需进入抢答局，两人进行抢答，抢答没有平局.已知甲､乙两位选手在半决赛相遇，且在与乙选手的比赛中，甲限时答题局获胜与平局的概率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，快问快答局获胜与平局的概率分别为 $\text{[math]}$ ，抢答局获胜的概率为 $\text{[math]}$ ，且各局比赛相互独立.

(1) 求甲至多经过两局比赛晋级决赛的概率；

(2) 已知乙最后晋级决赛，但不知甲､乙两人经过几局比赛，求乙恰好经过三局比赛才晋级决赛的概率.

解答题普通

3. 小李下班后驾车回家的路线有两条．路线1经过三个红绿灯路口，每个路口遇到红灯的概率都是 $\text{[math]}$ ；路线2经过两个红绿灯路口，第一个路口遇到红灯的概率是 $\text{[math]}$ ，第二个路口遇到红灯的概率是 $\text{[math]}$ ．假设两条路线全程绿灯时的驾车回家时长相同，且每个红绿灯路口是否遇到红灯相互独立．

(1) 若小李下班后选择路线1驾车回家，求至少遇到一个红灯的概率．

(2) 假设每遇到一个红灯驾车回家时长就会增加1min，为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间（单位：min）的期望最小，小李应选择哪条路线？请说明理由．

解答题普通