已知．

1. 已知 $\text{[math]}$ ．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 最大值；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，证明： $\text{[math]}$ 的解集非空．

【考点】

分段函数的应用;

【答案】

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解答题普通

1. 已知 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 围成的四边形面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；

(2) 若实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

解答题普通

2. 函数 $\text{[math]}$

(1) 若方程 $\text{[math]}$ 无实根，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；

(2) 记 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ .

解答题普通

3. 某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，规则如下：

①3小时以内(含3小时)为健康时间，玩家在这段时间内获得的累积经验值 $\text{[math]}$ 单位： $\text{[math]}$ 与游玩时间 $\text{[math]}$ 小时)满足关系式： $\text{[math]}$ ；

②3到5小时(含5小时)为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为 $\text{[math]}$ 即累积经验值不变)；

③超过5小时为不健康时间，累积经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，比例系数为50．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，写出累积经验值E与游玩时间t的函数关系式 $\text{[math]}$ ，并求出游玩6小时的累积经验值；

(2) 该游戏厂商把累积经验值E与游玩时间t的比值称为“玩家愉悦指数”，记作 $\text{[math]}$ ；若 $\text{[math]}$ ，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，求实数a的取值范围．

解答题普通