如图，已知AB是⊙O的直径，P是半径OB上一点，作弦交⊙O于点C，D，其中， .E是上一点，延长AE交CD的延长线于点F，延长BD交EF于点G，连结DE.

1. 如图，已知AB是⊙O的直径，P是半径OB上一点，作弦 $\text{[math]}$ 交⊙O于点C，D，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .E是 $\text{[math]}$ 上一点，延长AE交CD的延长线于点F，延长BD交EF于点G，连结DE.

(1) 求证： $\text{[math]}$ .

(2) 连结BC，当四边形BCEG中有一组对边平行时，求DE的长.

(3) 当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值.

【考点】

垂径定理; 圆周角定理; 圆内接四边形的性质; 相似三角形的判定与性质; 锐角三角函数的定义;

【答案】

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综合题普通

1. 如图，已知 $\text{[math]}$ .

求作： $\text{[math]}$ 的内接等边 $\text{[math]}$ .

小丽同学的作法及证明过程如下：

作法：①作直径 $\text{[math]}$ ；

②作半径 $\text{[math]}$ 的垂直平分线，垂足为 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点；

③连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

所以 $\text{[math]}$ 即为 $\text{[math]}$ 的内接等边三角形.

∵在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 垂直平分 $\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

∵ $\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$ （①）

∵ $\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$ 为等边三角形

∴ $\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$ （②）

∴ $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的内接等边三角形.

(1) 在小丽同学的证明过程中，①、②两处的推理依据分别是；.

(2) 请你再给出一种作图方法.（尺规作图，保留作图痕迹）

综合题普通

2. 已知：如图，点M为锐角∠APB 的边PA上一点．

求作：∠AMD，使得点D在边PB上，且∠AMD ＝2∠P．

作法：

①以点M为圆心，MP长为半径画圆，交PA于另一点C，交PB于点D点；

②作射线MD．

(1) 使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

(2) 完成下面的证明．

证明：∵P、C、D都在⊙M 上，

∠P为弧CD所对的圆周角，∠CMD为弧CD所对的圆心角，

∴∠P＝ $\text{[math]}$ ∠CMD（）（填推理依据）．

∴∠AMD＝2∠P．

综合题普通

3. 如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，F是弧AD上的一点，AF，CD的延长线相交于点G.

(1) 若⊙O的半径为3 $\text{[math]}$ ，且∠DFC＝45°，求弦CD的长.

(2) 求证：∠AFC＝∠DFG.

综合题普通