若数列满足：，，对于任意的，都有.

1. 若数列 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，对于任意的 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ .

(1) 证明：数列 $\text{[math]}$ 是等比数列；

(2) 求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式.

【考点】

等差数列概念与表示; 等差数列的通项公式; 等比数列概念与表示; 等比数列的通项公式;

【答案】

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解答题普通

1. 已知无穷数列 $\text{[math]}$ ，构造新数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 为常数数列，则称 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 阶等差数列；同理令 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 为常数数列，则称 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 阶等比数列..

(1) 已知 $\text{[math]}$ 为二阶等差数列，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的通项公式；

(2) 若 $\text{[math]}$ 为阶等差数列， $\text{[math]}$ 为一阶等比数列，证明： $\text{[math]}$ 为阶等比数列；

(3) 已知 $\text{[math]}$ ，令 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ .

解答题困难

2. 有无穷多个首项均为1的等差数列，记第 $\text{[math]}$ 个等差数列的第 $\text{[math]}$ 项为 $\text{[math]}$ ，公差为 $\text{[math]}$ .

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 若m为给定的值，且对任意n有 $\text{[math]}$ ，证明：存在实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

(3) 若 $\text{[math]}$ 为等比数列，证明： $\text{[math]}$ .

解答题困难

3. 记 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前n项和，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且数列 $\text{[math]}$ 是等比数列，证明： $\text{[math]}$ 是等比数列.

解答题普通