为庆祝元旦，班委会决定组织游戏，主持人准备好甲､乙两个袋子.甲袋中有3个白球，2个黑球；乙袋中有4个白球，4个黑球.参加游戏的同学每抽出1个白球须做3个俯卧撑，每抽出1个黑球，须做6个俯卧撑方案①：参加游戏的同学从甲､乙两个袋子中各随机抽出1个球；方案②：主持人随机将甲袋中的2个球放入乙袋，然后参加游戏的同学从乙袋中随机抽出1个球；方案③：主持人随机将乙袋中的2个球放入甲袋，然后参加游戏的同学从甲袋中随机抽出1个球.

1. 为庆祝元旦，班委会决定组织游戏，主持人准备好甲､乙两个袋子.甲袋中有3个白球，2个黑球；乙袋中有4个白球，4个黑球.参加游戏的同学每抽出1个白球须做3个俯卧撑，每抽出1个黑球，须做6个俯卧撑

方案①：参加游戏的同学从甲､乙两个袋子中各随机抽出1个球；

方案②：主持人随机将甲袋中的2个球放入乙袋，然后参加游戏的同学从乙袋中随机抽出1个球；

方案③：主持人随机将乙袋中的2个球放入甲袋，然后参加游戏的同学从甲袋中随机抽出1个球.

(1) 若同学小北选择方案①，求小北做6个俯卧撑的概率；

(2) 若同学小北选择方案，设小北做俯卧撑的个数为X，求X的分布列；

(3) 如果你可以选择按方案②或方案③参加游戏，且希望少做俯卧撑，那么你应该选择方案②还是方案③，还是两个方案都一样？（直接写出结论）

【考点】

相互独立事件的概率乘法公式; 离散型随机变量及其分布列;

【答案】

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解答题普通

1. 乒乓球被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目．已知某次乒乓球比赛单局赛制为：每两球交换发球权，每赢1球得1分，先得11分者获胜．当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜．若单局比赛中，甲发球时获胜的概率为 $\text{[math]}$ ，甲接球时获胜的概率为 $\text{[math]}$ ．

(1) 当某局打成10∶10平后，甲先发球，求“两人又打了4个球且获胜”的概率；

(2) 在单局比赛中，假如甲先发球，求甲最终11∶2获胜的概率．

解答题普通

2. 第24届冬季奥林匹克运动会（The XXIV Olympic Winter Games），即2022年北京冬季奥运会，于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕．北京冬季奥运会设7个大项，15个分项，109个小项．北京赛区承办所有的冰上项目；延庆赛区承办雪车、雪橇及高山滑雪项目；张家口赛区的崇礼区承办除雪车、雪橇及高山滑雪之外的所有雪上项目．某运动队拟派出甲、乙、丙三人去参加自由式滑雪．比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛．已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为 $\text{[math]}$ ；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是p和 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．

(1) 甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大；

(2) 若甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为 $\text{[math]}$ ，求p的值；

(3) 在（2）的条件下，设进入决赛的人数为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列．

解答题困难

3. “练好射击本领，报效国家”，某警校大一新生进行射击打靶训练，甲､乙在相同的条件下轮流射击.每轮中，甲，乙各射击一次，射中者得1分，未射中者得0分.已知甲､乙每次射中的概率分别为 $\text{[math]}$ ，且各次射击互不影响.

(1) 经过1轮射击打靶，记甲､乙两人的得分之和为X，求X的分布列；

(2) 试问经过第2轮还是第3轮射击打靶后，甲的累计得分高于乙的累计得分的可能性更高？并说明理由.

解答题普通