如图，在中，，线段EF是由线段AB平移得到的，点F在边BC上，以EF为边构造，使，，过点D作，垂足为H，延长BF交DH于点G.

1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，线段EF是由线段AB平移得到的，点F在边BC上，以EF为边构造 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过点D作 $\text{[math]}$ ，垂足为H，延长BF交DH于点G.

(1) 如图①，若点D恰好在AC的延长线上，此时点A与点H重合，点C与点G重合.

①求证： $\text{[math]}$ .

②若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求DF的长.

(2) 如图②，将点F沿着BC边继续平移，此时 $\text{[math]}$ 仍成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，连结AD，当点C与点F重合时，请直接写出AD与DH的数量关系.

【考点】

平行线的判定与性质; 三角形的外角性质; 勾股定理; 平移的性质; 三角形全等的判定-AAS;

【答案】

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综合题困难

1. 我们新定义一类三角形：有两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．例如，某三角形的三边长分别是2， $\text{[math]}$ ，因为 $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，所以这个三角形是奇异三角形

(1) 若△ABC的三边长分别是3，4和 $\text{[math]}$ ，判断此三角形是否为奇异三角形，请说明理由．

(2) 若Rt△ABC是奇异三角形，直角边分别为a，b，斜边为c，请探究a和b满足的数量关系式．

综合题普通

2. 某校八年（1）班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度 $\text{[math]}$ ，他们进行了如下操作：

①测得水平距离 $\text{[math]}$ 的长为12米：

②根据手中剩余线的长度计算出风筝线 $\text{[math]}$ 的长为20米：

③牵线放风筝的小明的身高为1.5米．

(1) 求风筝的垂直高度 $\text{[math]}$ ：

(2) 如果小明想风筝沿 $\text{[math]}$ 方向再下降4米，则他应该再收回多少米线？

综合题普通

3. 近年来，我国近视发生率居高不下，近视已成为影响我国国民尤其是儿童青少年眼健康的重大公共卫生问题．某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．已知笔记本的宽度 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，当顶部边缘A处离桌面的高度 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 时，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整顶部边缘离桌面的高度，最后发现当顶部边缘离桌面的高度 $\text{[math]}$ 时，用眼舒适度较为理想．求调整前后顶部边缘移动的水平距离 $\text{[math]}$ 的长．

综合题普通