如图，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接、、 .设点N的坐标为 .

1. 如图，四边形 $\text{[math]}$ 是正方形， $\text{[math]}$ 是等边三角形，M为对角线 $\text{[math]}$ （不含B点）上任意一点，将 $\text{[math]}$ 绕点B逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ .设点N的坐标为 $\text{[math]}$ .

(1) 若建立平面直角坐标系，满足原点在线段 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .且 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），则点D的坐标为，点C的坐标为；请直接写出点N纵坐标n的取值范围是；

(2) 若正方形的边长为2，求 $\text{[math]}$ 的长，以及 $\text{[math]}$ 的最小值. (提示：连结 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ )

【考点】

等边三角形的判定与性质; 含30°角的直角三角形; 勾股定理; 正方形的性质; 旋转的性质;

【答案】

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综合题困难

1. 如图所示，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，CB=3cm，点P在AC上以 $\text{[math]}$ cm/s的速度从点A匀速运动至点C停止，点Q沿BA方向以2cm/s的速度运动，当点P不与点A重合时，连结PQ，以PQ、BQ为邻边作平行四边形PQBM，当P点停止运动时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t(s)．

(2) 当四边形PQBM为矩形时，求t的值；

(3) 当△PQM是钝角三角形时，求t的取值范围．

综合题普通

2. 如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB，点A、B均在小正方形的顶点上．

(1) 在方格纸中画出以AB为一边的直角△ABC，点C在小正方形的顶点上，且△ABC的面积为3．

(2) 在方格纸中将△ABC绕点C逆时针旋转90°，画出旋转后△DEC（点A与点D对应，点B与点E对应），请直接写出点A绕着点C旋转的路径长．

综合题普通

综合题。

(1) 问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE，易证△BCE≌△ACD．则

①∠BEC=°；②线段AD、BE之间的数量关系是．

(2) 拓展研究：

如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，若AE=15，DE=7，求AB的长度．

(3) 探究发现：

如图3，P为等边△ABC内一点，且∠APC=150°，且∠APD=30°，AP=5，CP=4，DP=8，求BD的长．

综合题普通