一位同学拿两块一样的45°三角尺、做了一个探究活动：将的直角顶点M放在的斜边AB的中点处，设AC=BC=4

1. 一位同学拿两块一样的45°三角尺 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 做了一个探究活动：将 $\text{[math]}$ 的直角顶点M放在 $\text{[math]}$ 的斜边AB的中点处，设AC=BC=4

(1) 如图（1），两三角尺的重叠部分为 $\text{[math]}$ ，则重叠部分的面积为，周长为

(2) 将图（1）中的 $\text{[math]}$ 绕顶点M逆时针旋转45°，得到图（2），此时重叠部分的面积为，周长为

(3) 如果将 $\text{[math]}$ 绕M旋转到不同于图（1）和图（2）的图形，如图(3)，请你猜想此时重叠部分的面积为，并证明你的结论

【考点】

旋转的性质; 等腰直角三角形; 三角形全等的判定-AAS;

【答案】

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综合题普通

如图 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，把一块含 $\text{[math]}$ 角的三角板 $\text{[math]}$ 的直角顶点 $\text{[math]}$ 放在 $\text{[math]}$ 的中点上 $\text{[math]}$ 直角三角板的短直角边为 $\text{[math]}$ ，长直角边为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上．

(1) 求重叠部分 $\text{[math]}$ 的面积；

(2) 如图 $\text{[math]}$ ，将直角三角板 $\text{[math]}$ 绕 $\text{[math]}$ 点按顺时针方向旋转 $\text{[math]}$ 度， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 请说明 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ 在此条件下重叠部分的面积会发生变化吗？若发生变化，请求出重叠部分的面积，若不发生变化，请说明理由；

(3) 如图 $\text{[math]}$ ，将直角三角板 $\text{[math]}$ 绕 $\text{[math]}$ 点按顺时针方向旋转 $\text{[math]}$ 度 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的结论仍成立吗？重叠部分 $\text{[math]}$ 的面积会变吗？ $\text{[math]}$ 请直接写出结论不需说明理由 $\text{[math]}$

综合题困难

2. 平面内有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直线MN．过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．当点E与点A重合时（如图1），易证：AF+BF＝2CE．

(1) 当三角板绕点A顺时针旋转至图2的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．

(2) 当三角板绕点A顺时针旋转至图3的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．

综合题普通

3. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 当直线 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转到图（1）的位置时，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 当直线 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转到图（2）的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

综合题普通