双曲线的右焦点为F，以F点为圆心，a为半径的圆与C的渐近线相切．

1. 双曲线 $\text{[math]}$ 的右焦点为F，以F点为圆心，a为半径的圆与C的渐近线相切．

(1) 求C的离心率；

(2) 已知点 $\text{[math]}$ ，过F点的直线与C的右支交于M，N两点，证明：F点到 $\text{[math]}$ 的距离相等．

【考点】

双曲线的简单性质; 直线与圆锥曲线的综合问题; 圆与圆锥曲线的综合;

【答案】

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解答题普通

1. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 有相同的浙近线，且双曲线 $\text{[math]}$ 的上焦点到一条渐近线的距离等于2.

(1) 已知 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上任意一点，求 $\text{[math]}$ 的最小值；

(2) 已知动直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 有且仅有一个交点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 且与 $\text{[math]}$ 垂直的直线 $\text{[math]}$ 与两坐标轴分别交于 $\text{[math]}$ .设点 $\text{[math]}$ .

（i）求点 $\text{[math]}$ 的轨迹方程；

（ii）若对于一般情形，曲线 $\text{[math]}$ 方程为 $\text{[math]}$ ，动直线 $\text{[math]}$ 方程为 $\text{[math]}$ ，请直接写出点 $\text{[math]}$ 的轨迹方程.

解答题困难

2. 通过研究，已知对任意平面向量 $\text{[math]}$ ，把 $\text{[math]}$ 绕其起点A沿逆时针方向旋转 $\text{[math]}$ 角得到向量 $\text{[math]}$ ，叫做把点B绕点A逆时针方向旋转 $\text{[math]}$ 角得到点P，

(1) 已知平面内点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，把点B绕点A逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到点P，求点P的坐标：

(2) 已知二次方程 $\text{[math]}$ 的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆 $\text{[math]}$ 绕原点O逆时针旋转 $\text{[math]}$ 所得的斜椭圆C，

（i）求斜椭圆C的离心率；

（ⅱ）过点 $\text{[math]}$ 作与两坐标轴都不平行的直线 $\text{[math]}$ 交斜椭圆C于点M、N，过原点O作直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 垂直，直线 $\text{[math]}$ 交斜椭圆C于点G、H，判断 $\text{[math]}$ 是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由.

解答题困难

3. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）过点 $\text{[math]}$ ，且离心率为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；

(2) 记椭圆 $\text{[math]}$ 的上下顶点分别为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 斜率为 $\text{[math]}$ 的直线与椭圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，证明：直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的交点 $\text{[math]}$ 在定直线上，并求出该定直线的方程．

解答题困难