有公共顶点A的正方形与正方形按如图1所示放置，点E ， F分别在边和上，连接，，M是的中点，连接交于点N．

1. 有公共顶点A的正方形 $\text{[math]}$ 与正方形 $\text{[math]}$ 按如图1所示放置，点E ， F分别在边 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，M是 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点N．

(1) （观察猜想）

线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系是，位置关系是；

(2) （探究证明）

将图1中的正方形 $\text{[math]}$ 绕点A顺时针旋转45°，点G恰好落在边 $\text{[math]}$ 上，如图2，其他条件不变，线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的关系是否仍然成立？并说明理由．

【考点】

正方形的性质; 四边形的综合; 四边形-动点问题;

【答案】

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综合题普通

1. 如图，在矩形ABCD中，AD＝2 $\text{[math]}$ ，AB＝4 $\text{[math]}$ ，DM⊥AC于点M ，在对角线AC上取一点N ，使得2CN＝3AM ，连接DN并延长交BC于点E ， F是AB上一点，连接EF ， MF ．当点P从点E匀速运动到点F时，点Q恰好从点M匀速运动到点N ．

(1) 求AM ， CE的长．

(2) 若EF∥AC ，记EP＝x ， AQ＝y ．

①求y关于x的函数表达式．

②连接PQ ，当直线PQ平行于四边形DEFM的一边时，求所有满足条件的x的值．

(3) 在运动过程中，当直线PQ同时经过点B和D时，记点Q的运动速度为v₁ ，记点P的运动速度为v₂ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

综合题困难

2. 如图，正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的度数；

(2) 在线段 $\text{[math]}$ 上截取 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的角平分线交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．
$\text{[math]}$ 依题意补全图形；
$\text{[math]}$ 用等式表示线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并证明．

综合题困难

3. 如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过点C作直线 $\text{[math]}$ ，点D，E是直线 $\text{[math]}$ 上的动点（D在E的右侧）且满足 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的平分线与射线 $\text{[math]}$ 交于点F，与射线 $\text{[math]}$ 交于点G．

(1) 如图1，当点C在线段 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ 时，若 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 如图2，当点D在点C左侧时，

①依题意补全图形；

②用等式表示线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的数量关系，并证明．

综合题困难