如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=AD ．

1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=AD ．

(1) 作∠BAC的平分线，交BC于点E；(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)

(2) 在（1）的条件下，连接DE ，证明 $\text{[math]}$ ．

【考点】

三角形全等的判定-SAS; 尺规作图-作角的平分线;

【答案】

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综合题普通

1. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， D为 $\text{[math]}$ 内一点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 延长 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$

(1) 如图1，延长 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 连接 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，依题意补全图2，若 $\text{[math]}$ ，用等式表示线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并证明．

综合题困难

(1) 如图1，点C在线段AB上，（点C不与A、B重合），分别以AC、BC为边在AB同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点P．

（观察猜想）

①AE与BD的数量关系是 ▲ ；

②∠APD的度数为 ▲ ．

(2) （数学思考）

如图2，当点C在线段AB外时，（1）中的结论①、②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出符合题意结论再给予证明；

(3) （拓展应用）

如图3，点E为四边形ABCD内一点，且满足∠AED＝∠BEC＝90°，AE＝DE，BE＝CE，对角线AC、BD交于点P，AC＝10，则四边形ABCD的面积为．

综合题困难

3. $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 都是等边三角形，连接AD、BE．

(1) 如图①，当点B、C、D在同一条直线上时，则 $\text{[math]}$ 度；

(2) 将图①中的 $\text{[math]}$ 绕着点C逆时针旋转到如图②的位置，求证： $\text{[math]}$ ．

综合题普通