如图，已知二次函数的图象经过点且与轴交于原点及点 .

1. 如图，已知二次函数 $\text{[math]}$ 的图象经过点 $\text{[math]}$ 且与 $\text{[math]}$ 轴交于原点及点 $\text{[math]}$ .

(1) 求二次函数的表达式；

(2) 求顶点 $\text{[math]}$ 的坐标及直线 $\text{[math]}$ 的表达式；

(3) 判断 $\text{[math]}$ 的形状，试说明理由；

(4) 若点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的动点，且 $\text{[math]}$ 的半径为 $\text{[math]}$ ，一动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段 $\text{[math]}$ 匀速运动到点 $\text{[math]}$ ，再以每秒1个单位长度的速度沿线段 $\text{[math]}$ 匀速运动到点 $\text{[math]}$ 后停止运动，求点 $\text{[math]}$ 的运动时间 $\text{[math]}$ 的最小值.

【考点】

待定系数法求二次函数解析式; 相似三角形的判定与性质; 等腰直角三角形; 二次函数y=ax²+bx+c的图象;

【答案】

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综合题困难

1. 根据以下素材，探索完成任务．

如何调整蔬菜大棚的结构？
素材1	我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟，一块土地上有一个蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体 $\text{[math]}$ 上，另一端固定在墙体 $\text{[math]}$ 上，其横截面有2根支架 $\text{[math]}$ ，相关数据如图2所示，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
素材2	已知大棚有200根长为 $\text{[math]}$ 的支架和200根长为 $\text{[math]}$ 的支架，为增加棚内空间，拟将图2中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化如图3所示，调整后C与E上升相同的高度，增加的支架单价为60元/米（接口忽略不计），现有改造经费32000元．
问题解决
任务1	确定大棚形状	在图2中以点O为原点， $\text{[math]}$ 所在直线为y轴建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2	尝试改造方案	当 $\text{[math]}$ 米，只考虑经费情况下，请通过计算说明能否完成改造．
任务3	拟定最优方案	只考虑经费情况下，求出 $\text{[math]}$ 的最大值．