如图

1. 如图

(1) 证明推断：如图（1），在正方形 $\text{[math]}$ 中，点E，Q分别在边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 于点O，点G，F分别在边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ .求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 类比探究：如图（2），在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ （k为常数）.将矩形 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠，使点A落在 $\text{[math]}$ 边上的点E处，得到四边形 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点H，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点O.试探究 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并说明理由；

(3) 拓展应用：在（2）的条件下，连接 $\text{[math]}$ ，当时 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.

【考点】

勾股定理; 平行四边形的判定与性质; 矩形的判定与性质; 正方形的性质; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 至D，使得 $\text{[math]}$ ，过点A，D分别作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点E．下面是两位同学的对话：

小星：由题目的已知条件，若连接 $\text{[math]}$ ，则可

证明 $\text{[math]}$ ．

小红：由题目的已知条件，若连接 $\text{[math]}$ ，则可证明 $\text{[math]}$ ．

(1) 请你选择一位同学的说法，并进行证明；

(2) 连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

综合题普通

2. 如图，在菱形 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的平行线，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的平行线，两直线相交于点 $\text{[math]}$ .

(1) 求证：四边形 $\text{[math]}$ 是矩形；

(2) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求菱形 $\text{[math]}$ 的面积.

综合题困难

3. 如图，平行四边形ABCD的对角线 AC，BD 交于点 O，AE⊥BC于点 E，点F在BC延长线上，且CF＝BE．

(1) 求证：四边形 AEFD 是矩形；

(2) 连接 AF，若 $\text{[math]}$ ， BE＝1，AD＝3，求AF的长．

综合题普通