如图，矩形ADCD中，AB=10，BC=7，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD交于点0，且OE=OD。

1. 如图，矩形ADCD中，AB=10，BC=7，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD交于点0，且OE=OD。

(1) 求证：OP=OF；

(2) 求AP的长。

【考点】

勾股定理; 矩形的性质; 轴对称的性质; 翻折变换（折叠问题）; 三角形全等的判定-ASA;

【答案】

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综合题普通

1. 【项目介绍】

图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，图②是四脚八叉凳的几何示意图．四脚八叉凳的榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图③所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美．

现在老师给同学们准备了凳面的木板和凳腿的木棒，请同学们根据要求准确找到榫眼的位置，安装板凳．

【驱动任务一】根据“四脚八叉凳”的几何示意图画出它的主视图，如图④．

【驱动任务二】如图⑤，若A、B、C在同一条直线上，且 $\text{[math]}$ 与地面垂直．小组同学选取 $\text{[math]}$ 的木棒作为凳脚进行制作，成品凳面 $\text{[math]}$ 与地面距离为 $\text{[math]}$ ，但是同学们发现此高度缺乏舒适感，所以决定重新调整打孔位置，经过计算发现，将榫眼外移多少时可将凳高调整为 $\text{[math]}$ ？

【驱动任务三】

根据做板凳的经验和对剩余材料的整理，同学们打算制作如图⑥所示的简易桌子，桌子的主视图如图⑦所示，正方形桌面 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 长的木棒恰好能截成 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，则成品桌子的高度 $\text{[math]}$ 为多少？

综合题普通

2. 明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词，翻译为：如图秋千细索 $\text{[math]}$ 悬挂于O点，静止时竖直下垂，A点为踏板位置，踏板离地高度为1米（ $\text{[math]}$ 米）．将它往前推进一些（ $\text{[math]}$ 于点E，且 $\text{[math]}$ 米），踏板升高到点B位置，此时踏板离地2米（ $\text{[math]}$ 米），求秋千绳（ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ）的长度．

综合题普通

3. 如图所示，某人到岛上去探宝，从 $\text{[math]}$ 处登陆后先往东走 $\text{[math]}$ ，又往北走 $\text{[math]}$ ，遇到障碍后又往西走 $\text{[math]}$ ，再折回向北走到 $\text{[math]}$ 处往东一拐，仅走 $\text{[math]}$ 就找到了宝藏，问登陆点 $\text{[math]}$ 与宝藏埋藏点 $\text{[math]}$ 之间的距离是多少？

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