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1.

如图1，过等边三角形ABC边AB上一点D作DE∥BC交边AC于点E，分别取BC，DE的中点M，N，连接MN．

(1) 发现：在图1中， =；
(2)

应用：如图2，将△ADE绕点A旋转，请求出 的值；
(3)

拓展：如图3，△ABC和△ADE是等腰三角形，且∠BAC=∠DAE，M，N分别是底边BC，DE的中点，若BD⊥CE，请直接写出 的值．
【考点】
相似三角形的性质;
【答案】

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综合题 困难
能力提升
真题演练
换一批
1.

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，点P从点B出发，沿BC向点C匀速运动，速度为1cm/s；过点P作PD∥AB，交AC于点D，同时，点Q从点A出发，沿AB向点B匀速运动，速度为2cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动，连接PQ．设运动时间为t（s）（0＜t＜2.5），解答下列问题：

(1) 当t为何值时，四边形ADPQ为平行四边形？
(2) 设四边形ADPQ的面积为y（cm2），试确定y与t的函数关系式；
(3) 在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S四边形ADPQ：S△PQB=13：2？若存在，请说明理由，若存在，求出t的值，并求出此时PQ的距离．
综合题 困难
2.

如图1，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点O为对角线BD的中点，点P从点A出发，沿折线AD﹣DO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ABD重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P运动的时间为t（秒）．

(1)

如图2，当点N落在BD上时，求t的值；
(2) 当正方形PQMN的边经过点O时（包括正方形PQMN的顶点），求此时t的值；
(3) 当点P在边AD上运动时，求S与t之间的函数关系式；
(4) 写出在点P运动过程中，直线DN恰好平分△BCD面积时t的所有可能值．
综合题 困难
3.

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点P从点A出发沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，同时点Q从点C出发沿边CB向点B以每秒a个单位长度的速度运动，过点P作PD⊥BC，交AB于点D，连接PQ．当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．

(1) 当a=2时，解答下列问题：

①QB=，PD=．（用含t的代数式分别表示）
(2) 当a为某个数值时，四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求a的值及四边形PDBQ为菱形时t的值．
(3) 当t=2时，在整个运动过程中，恰好存在线段PQ的中点M到△ABC三边距离相等，直接写出此刻a的值．
综合题 普通