在矩形ABCD中，点E在边BC上，连接AE.

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1. 在矩形ABCD中，点E在边BC上，连接AE.

(1) 如图①，当矩形ABCD为正方形时，将 $\text{[math]}$ 沿AE翻折得到 $\text{[math]}$ ，连接EF并延长交边CD于点G，连接AG.求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图②，在矩形ABCD的边CD上取一点G，连接AG，使 $\text{[math]}$ .

①若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （直接填空）；

②过点G作 $\text{[math]}$ ，交AE于点H，如图③，若 $\text{[math]}$ ，请直接写出线段GH、BE、DG之间的数量关系.

【考点】

直角三角形全等的判定-HL; 勾股定理; 正方形的性质; 翻折变换（折叠问题）; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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综合题困难

1. 明朝数学家程大位在著作《直指算法统宗》中以《西江月》词牌叙述了一道“荡秋千”问题：原文：平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争藏，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索有几？建立数学模型，如图，秋千绳索 $\text{[math]}$ 静止的时候，踏板离地高一尺（ $\text{[math]}$ 尺），将它往前推进两步（ $\text{[math]}$ 尺），此时踏板升高离地五尺（ $\text{[math]}$ 尺），已知 $\text{[math]}$ 于点C， $\text{[math]}$ 于点D， $\text{[math]}$ 于点E， $\text{[math]}$ ，求秋千绳索（ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ）的长度．

综合题普通

2. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 点开始沿 $\text{[math]}$ 边向点 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 的速度移动，点 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 点开始沿 $\text{[math]}$ 边向点 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 的速度移动．

(1) 如果P，Q分别从A，B两点同时出发，经过几秒钟， $\text{[math]}$ 的面积等于 $\text{[math]}$ ？

(2) 几秒钟后，P，Q两点之间的距离等于 $\text{[math]}$ ？

综合题普通

3. 如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE.将△ADE 沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF.

求证：

(1) △ABG≌△AFG；

(2) 求△FGC的面积．

综合题普通