北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为．

1. 北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于 $\text{[math]}$ 与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是 $\text{[math]}$ ，所以正四面体在各顶点的曲率为 $\text{[math]}$ ，故其总曲率为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求四棱锥的总曲率；

(2) 若多面体满足：顶点数-棱数+面数 $\text{[math]}$ ，证明：这类多面体的总曲率是常数．

【考点】

棱锥的结构特征;

【答案】

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解答题困难

1. 如图，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

(2) 点E，F分别位于线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上（不含端点），连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，直线EF与平面 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ ，求k的值．

解答题普通

2. 在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD ， E为PD的中点，PA＝2AB＝2．

(1) 求四棱锥P－ABCD的体积V；

(2) 若F为PC的中点，求证：PC⊥平面AEF.

解答题普通

3. 如图甲，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是边长为4的正三角形，把 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折起到 $\text{[math]}$ 的位置，使得平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，如图乙所示，点 $\text{[math]}$ 分别为棱 $\text{[math]}$ 的中点．

(1) 求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

(2) 求三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积．

解答题普通