如图，已知直线与轴，轴分别交于，两点，以为直角顶点在第二象限作等腰．

1. 如图 $\text{[math]}$ ，已知直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴， $\text{[math]}$ 轴分别交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，以 $\text{[math]}$ 为直角顶点在第二象限作等腰 $\text{[math]}$ ．

(1) 求点 $\text{[math]}$ 的坐标，并求出直线 $\text{[math]}$ 的关系式；

(2) 如图 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于 $\text{[math]}$ ，在直线 $\text{[math]}$ 上取一点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．

(3) 如图 $\text{[math]}$ ，在（1）的条件下，直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上一点，在 $\text{[math]}$ 轴上是否存在一点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 面积等于 $\text{[math]}$ 面积的一半？若存在，请求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】

待定系数法求一次函数解析式; 一次函数中的动态几何问题; 三角形全等的判定-AAS;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $\text{[math]}$ 与x轴和y轴分别交于点B，C，与直线 $\text{[math]}$ 相交于点A．

(1) 求点A的坐标及 $\text{[math]}$ 的面积．

(2) 在线段OA上有一动点P，过点P作平行于y轴的直线与直线AC交于点D，问在y轴上是否存在点H，使得 $\text{[math]}$ 是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出满足条件的点H的坐标；若不存在，请说明理由．

(3) 过点A作y轴的垂线AE，垂足为E，在y轴上找点M，使 $\text{[math]}$ ，请直接写出点M的坐标．

综合题困难

2. 如图1，直线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．

(1) 求直线 $\text{[math]}$ 的函数表达式；

(2) 设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线 $\text{[math]}$ 于点P，交直线 $\text{[math]}$ 于点Q，连接 $\text{[math]}$ ．

①若 $\text{[math]}$ ，请直接写出点P的坐标；

②若 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，请直接写出点M的坐标；

③若点K为线段 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ，如图2，若在线段 $\text{[math]}$ 上有一点F，满足 $\text{[math]}$ ，请直接写出点F的坐标．

综合题困难

3. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $\text{[math]}$ 分别交x轴，y轴于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上，过点C的另一条直线交x轴于点 $\text{[math]}$ ，点P是直线CD上一点．

(1) 求a的值；

(2) 设点P的横坐标为m， $\text{[math]}$ 的面积为S，请直接写出S与m之间的关系式；

(3) 若直线 $\text{[math]}$ 交坐标轴于点M，交直线CD于点N；点 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，请直接写出点N的坐标．

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