某地拟规划种植一批芍药，为了美观，将种植区域（区域Ⅰ）设计成半径为的扇形，中心角．为方便观赏，增加收入，在种植区域外围规划观赏区（区域Ⅱ）和休闲区（区域Ⅲ），并将外围区域按如图所示的方案扩建成正方形，其中点，分别在边和上．已知种植区、观赏区和休闲区每平方千米的年收入分别是10万元、20万元、20万元．

1. 某地拟规划种植一批芍药，为了美观，将种植区域（区域Ⅰ）设计成半径为 $\text{[math]}$ 的扇形 $\text{[math]}$ ，中心角 $\text{[math]}$ ．为方便观赏，增加收入，在种植区域外围规划观赏区（区域Ⅱ）和休闲区（区域Ⅲ），并将外围区域按如图所示的方案扩建成正方形 $\text{[math]}$ ，其中点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在边 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 上．已知种植区、观赏区和休闲区每平方千米的年收入分别是10万元、20万元、20万元．

(1) 要使观赏区的年收入不低于5万元，求 $\text{[math]}$ 的最大值；

(2) 试问：当 $\text{[math]}$ 为多少时，年总收入最大？

【考点】

利用导数研究函数的单调性; 利用导数研究函数最大（小）值; 含三角函数的复合函数的值域与最值; 函数模型的选择与应用;

【答案】

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解答题困难

1. 已知定义：函数 $\text{[math]}$ 的导函数为 $\text{[math]}$ ，我们称函数 $\text{[math]}$ 的导函数 $\text{[math]}$ 为函数 $\text{[math]}$ 的二阶导函数，如果一个连续函数 $\text{[math]}$ 在区间I上的二阶导函数 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为I上的凹函数；二阶导函数 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为I上的凸函数.若 $\text{[math]}$ 是区间I上的凹函数，则对任意的 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，有不等式 $\text{[math]}$ 恒成立（当且仅当 $\text{[math]}$ 时等号成立）.若 $\text{[math]}$ 是区间I上的凸函数，则对任意的 $\text{[math]}$ ，有不等式 $\text{[math]}$ 恒成立（当且仅当 $\text{[math]}$ 时等号成立）.已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 试判断 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 为凹函数还是凸函数?

(2) 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值；

(3) 已知 $\text{[math]}$ ，且当 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数a的所有可能取值.

解答题困难

2. 某广告商租用了一块如图所示的半圆形封闭区域用于产品展示，该封闭区域由以 $\text{[math]}$ 为圆心的半圆及直径 $\text{[math]}$ 围成．在此区域内原有一个以 $\text{[math]}$ 为直径、 $\text{[math]}$ 为圆心的半圆形展示区，该广告商欲在此基础上，将其改建成一个凸四边形的展示区 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别在半圆 $\text{[math]}$ 与半圆 $\text{[math]}$ 的圆弧上，且 $\text{[math]}$ 与半圆 $\text{[math]}$ 相切于点 $\text{[math]}$ ．已知 $\text{[math]}$ 长为40米，设 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ．（上述图形均视作在同一平面内）

（1）记四边形 $\text{[math]}$ 的周长为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的表达式；

（2）要使改建成的展示区 $\text{[math]}$ 的面积最大，求 $\text{[math]}$ 的值．

解答题普通

3. 已知函数 $\text{[math]}$ ．

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求函数 $\text{[math]}$ 的最小值；

(2) 若函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上是减函数，求实数a的取值范围．

解答题普通