佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新机器.生产这种机器的月固定成本为万元，每生产台，另需投入成本（万元），当月产量不足70台时，（万元）；当月产量不小于70台时，（万元）.若每台机器售价万元，且该机器能全部卖完.

1. 佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新机器.生产这种机器的月固定成本为 $\text{[math]}$ 万元，每生产 $\text{[math]}$ 台，另需投入成本 $\text{[math]}$ （万元），当月产量不足70台时， $\text{[math]}$ （万元）；当月产量不小于70台时， $\text{[math]}$ （万元）.若每台机器售价 $\text{[math]}$ 万元，且该机器能全部卖完.

(1) 求月利润 $\text{[math]}$ （万元）关于月产量 $\text{[math]}$ （台）的函数关系式；

(2) 月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润.

【考点】

二次函数的性质; 根据实际问题选择函数类型; 基本不等式;

【答案】

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解答题普通

1. 某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族 $\text{[math]}$ 中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当 $\text{[math]}$ 中 $\text{[math]}$ 的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为 $\text{[math]}$ （单位：分钟）；公交群体的人均通勤时间为 $\text{[math]}$ （单位：分钟）.已知当 $\text{[math]}$ 时，公交群体的人均通勤时间比自驾群体的人均通勤时间长1分钟.

(1) 求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 求该地上班族 $\text{[math]}$ 的最短人均通勤时间.

解答题普通

2. 据国家气象局消息，今年各地均出现了极端高温天气.漫漫暑期，空调成了很好的降温工具，而物体的降温遵循牛顿冷却定律.如果某物体的初始温度为 $\text{[math]}$ ，那么经过 $\text{[math]}$ 分钟后，温度 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为室温， $\text{[math]}$ 为半衰期.为模拟观察空调的降温效果，小明把一杯 $\text{[math]}$ 的茶水放在 $\text{[math]}$ 的房间，10分钟后茶水降温至 $\text{[math]}$ .（参考数据： $\text{[math]}$ ）

(1) 若欲将这杯茶水继续降温至 $\text{[math]}$ ，大约还需要多少分钟？（保留整数）

(2) 为适应市场需求，2022年某企业扩大了某型号的变频空调的生产，全年需投入固定成本200万元，每生产 $\text{[math]}$ 千台空调，需另投入成本 $\text{[math]}$ 万元，且 $\text{[math]}$ 已知每台空调售价3000元，且生产的空调能全部销售完.问2022年该企业该型号的变频空调的总产量为多少千台时，获利最大？并求出最大利润.

解答题普通

3. 如图，有一生态农庄的平面图是一个半圆形，其中直径长为2km，C、D两点在半圆弧上满足 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ，现要在景区内铺设一条观光通道，由 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 组成.

(1) 用 $\text{[math]}$ 表示观光通道的长 $\text{[math]}$ ，并求观光通道 $\text{[math]}$ 的最大值；

(2) 现要在农庄内种植经济作物，其中在 $\text{[math]}$ 中种植鲜花，在 $\text{[math]}$ 中种植果树，在扇形 $\text{[math]}$ 内种植草坪，已知种植鲜花和种植果树的利润均为 $\text{[math]}$ 百万元/km² ，种植草坪利润为 $\text{[math]}$ 百万元/km² ，则当 $\text{[math]}$ 为何值时总利润最大？

解答题普通