佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新机器.生产这种机器的月固定成本为万元，每生产台，另需投入成本（万元），当月产量不足70台时，（万元）；当月产量不小于70台时，（万元）.若每台机器售价万元，且该机器能全部卖完.

1. 佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新机器.生产这种机器的月固定成本为 $\text{[math]}$ 万元，每生产 $\text{[math]}$ 台，另需投入成本 $\text{[math]}$ （万元），当月产量不足70台时， $\text{[math]}$ （万元）；当月产量不小于70台时， $\text{[math]}$ （万元）.若每台机器售价 $\text{[math]}$ 万元，且该机器能全部卖完.

(1) 求月利润 $\text{[math]}$ （万元）关于月产量 $\text{[math]}$ （台）的函数关系式；

(2) 月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润.

【考点】

二次函数的性质; 根据实际问题选择函数类型; 基本不等式;

【答案】

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解答题普通

1. 某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族 $\text{[math]}$ 中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当 $\text{[math]}$ 中 $\text{[math]}$ 的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为 $\text{[math]}$ （单位：分钟）；公交群体的人均通勤时间为 $\text{[math]}$ （单位：分钟）.已知当 $\text{[math]}$ 时，公交群体的人均通勤时间比自驾群体的人均通勤时间长1分钟.

(1) 求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 求该地上班族 $\text{[math]}$ 的最短人均通勤时间.

解答题普通

2. 据国家气象局消息，今年各地均出现了极端高温天气.漫漫暑期，空调成了很好的降温工具，而物体的降温遵循牛顿冷却定律.如果某物体的初始温度为 $\text{[math]}$ ，那么经过 $\text{[math]}$ 分钟后，温度 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为室温， $\text{[math]}$ 为半衰期.为模拟观察空调的降温效果，小明把一杯 $\text{[math]}$ 的茶水放在 $\text{[math]}$ 的房间，10分钟后茶水降温至 $\text{[math]}$ .（参考数据： $\text{[math]}$ ）

(1) 若欲将这杯茶水继续降温至 $\text{[math]}$ ，大约还需要多少分钟？（保留整数）

(2) 为适应市场需求，2022年某企业扩大了某型号的变频空调的生产，全年需投入固定成本200万元，每生产 $\text{[math]}$ 千台空调，需另投入成本 $\text{[math]}$ 万元，且 $\text{[math]}$ 已知每台空调售价3000元，且生产的空调能全部销售完.问2022年该企业该型号的变频空调的总产量为多少千台时，获利最大？并求出最大利润.

解答题普通

3. 某科技企业生产一种电子设备的年固定成本为700万元，除此之外每台机器的额外生产成本与产量满足一定的关系式.设年产量为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）台，若年产量不足80台，则每台设备的额外成本为 $\text{[math]}$ 万元；若年产量大于等于80台小于等于200台，则每台设备的额外成本为 $\text{[math]}$ .每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完.

(1) 写出年利润 $\text{[math]}$ （万元）关于年产量 $\text{[math]}$ （台）的关系式；

(2) 当年产量为多少台时，年利润最大，最大值为多少？

解答题普通