已知定义在上的函数满足：①对任意实数，，都有；②对任意，都有 .

1. 已知定义在 $\text{[math]}$ 上的函数 $\text{[math]}$ 满足：①对任意实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ；②对任意 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ .

(1) 求 $\text{[math]}$ ，并证明 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的单调增函数；

(2) 若 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 对 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；

(3) 已知 $\text{[math]}$ ，方程 $\text{[math]}$ 有三个根 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ .

【考点】

分段函数的解析式求法及其图象的作法; 函数单调性的判断与证明; 函数恒成立问题; 分段函数的应用;

【答案】

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解答题困难

1. 已知函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递减，在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增，现有函数 $\text{[math]}$ 和函数 $\text{[math]}$ .

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求函数 $\text{[math]}$ 的最值；

(2) 若关于x的不等式 $\text{[math]}$ 的解集为 $\text{[math]}$ ，求实数m的取值范围；

(3) 若对于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 成立，求实数m的取值范围.

解答题普通

2. 已知函数 $\text{[math]}$ .

(1) 若 $\text{[math]}$ 在定义域上单调递增，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；

(2) 若 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的值.

解答题困难

3. 已知函数 $\text{[math]}$ 为奇函数

(1) 求 $\text{[math]}$ 的值，判断并证明 $\text{[math]}$ 在其定义域上的单调性；

(2) 若关于 $\text{[math]}$ 的不等式 $\text{[math]}$ 对任意 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数k的取值范围．

解答题普通