在平面直角坐标系xOy中，抛物线G：与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点；一次函数（）的图像为直线 .

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1. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线G： $\text{[math]}$ 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点；一次函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的图像为直线 $\text{[math]}$ .

(1) 求A、B两点的坐标；

(2) 当1≤x≤2时， $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，试说明：抛物线G的顶点不在直线 $\text{[math]}$ 上；

(3) 设 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与线段AC交于D点，与y轴交于E点，与抛物线G的对称轴交于F 点，当A、C两点到直线 $\text{[math]}$ 距离相等时，是否存在整数n，使F点在直线BE的上方?若存在，求n的值；若不存在，请说明理由.

【考点】

二次函数图象与系数的关系; 二次函数图象与坐标轴的交点问题; 二次函数与一次函数的综合应用; 二次函数图象上点的坐标特征;

【答案】

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综合题困难

1. 定义：在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的交点坐标为 $\text{[math]}$ ，那么我们把经过点 $\text{[math]}$ 且平行于 $\text{[math]}$ 轴的直线称为这条抛物线的极限分割线．

(1) 【特例感知】

抛物线 $\text{[math]}$ 的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为．

(2) 【深入探究】

经过点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，它的极限分割线与该抛物线另一个交点为 $\text{[math]}$ ，请用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示点 $\text{[math]}$ 的坐标．

(3) 【拓展运用】

在（2）的条件下，设抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 垂直平分 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，交该抛物线的对称轴于点 $\text{[math]}$ ．

①当 $\text{[math]}$ 时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标．

②若直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 关于极限分割线对称，是否存在使点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离与点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离相等的 $\text{[math]}$ 的值？若存在，直接写出 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由．

综合题困难

2. 如图①，已知抛物线y₁＝x²+bx+c与x轴交于两点O（0，0）、A（2，0），将抛物线y₁向右平移两个单位长度，得到抛物线y₂ ．点P是抛物线y₁在第四象限内一点，连接PA并延长，交抛物线y₂于点Q ．

(1) 求抛物线y₂的表达式；

(2) 设点P的横坐标为x_P ，点Q的横坐标为x_Q ，求x_Q﹣x_P的值；

(3) 如图②，若抛物线y₃＝x²﹣8x+t与抛物线y₁＝x²+bx+c交于点C ，过点C作直线MN ，分别交抛物线y₁和y₃于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m ，点N的横坐标为n ，试判断|m﹣n|是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由．

综合题困难

3. 二次函数 $\text{[math]}$ （a、b为常数，且 $\text{[math]}$ ）的图象经过点 $\text{[math]}$ .

(1) 求证：该函数的图象与x轴总有两个公共点；

(2) 已知点 $\text{[math]}$ ，若该函数图象与线段 $\text{[math]}$ 恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出a的取值范围.

综合题普通