如图1，在等腰三角形中，点分别在边上，连接点分别为的中点．

1. 如图1，在等腰三角形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 分别在边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 连接 $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 的中点．

(1) 观察猜想

图1中，线段 $\text{[math]}$ 的数量关系是， $\text{[math]}$ 的大小为；

(2) 探究证明

把 $\text{[math]}$ 绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接 $\text{[math]}$ 判断 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由；

(3) 拓展延伸

把 $\text{[math]}$ 绕点A在平面内自由旋转，若 $\text{[math]}$ ，请求出 $\text{[math]}$ 面积的最大值．

【考点】

三角形的外角性质; 等腰三角形的性质; 等边三角形的判定; 旋转的性质; 三角形的中位线定理;

【答案】

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综合题困难

1. 问题：如图，在△ABD中，BA=BD，在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA=EC。若∠BAE=90°，∠B=45°，求∠DAC的度数。

答案：∠DAC=45°。

思考：

(1) 如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？说明理由。

(2) 如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉，再将“∠BAE=90°”改为“∠BAE=n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数。

综合题普通

2. 将一根长为 $\text{[math]}$ 的铁丝，剪掉一部分后，剩下部分围成一个等腰三角形（接头部分忽略不计），这个等腰三角形的底为 $\text{[math]}$ ，腰为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求剪掉部分的铁丝长度．

(2) 若围成的等腰三角形的周长为 $\text{[math]}$ ，求铁丝的长度．

综合题普通

3. 已知△ABC，AB＝AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD＝α，∠CDE＝β．

(1) 如图，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．

①如果∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，那么α＝°，β＝°．

②求α，β之间的关系式．

(2) 是否存在不同于以上②中的α，β之间的关系式？若存在，求出这个关系式（求出一个即可）；若不存在，说明理由．

综合题普通