已知四边形是菱形，的两边分别与射线相交于点，且

1. 已知四边形 $\text{[math]}$ 是菱形， $\text{[math]}$ 的两边分别与射线 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$

(1) 如图1，当点E是线段 $\text{[math]}$ 的中点时，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图2，当点E是线段 $\text{[math]}$ 上任意一点时(点E不与 $\text{[math]}$ 重合)，求证： $\text{[math]}$ ；

(3) 如图3，当点E在线段 $\text{[math]}$ 的延长线上时，设 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点G求证： $\text{[math]}$ ．

【考点】

全等三角形的判定与性质; 等边三角形的判定与性质; 菱形的性质; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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综合题困难

1. 在菱形 ABCD 中， ∠ABC=60°，点 P 是射线 BD 上一动点，以 AP 为边向右侧作等边 △APE ，点 E 的位置随点 P 的位置变化而变化.

(1) 如图1，当点 E 在菱形ABCD内部或边上时，连接CE ， BP 与 CE 的数量关系是， CE 与 AD 的位置关系是；

(2) 当点 E 在菱形ABCD外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由(选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理).

(3) 如图4，当点 P 在线段 BD 的延长线上时，连接 BE ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求四边形 ADPE 的面积.

综合题困难

2. 如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，作DE⊥BC于点F，连接EF，

求证：

(1) △ADE≌△CDF；

(2) 若∠A＝60°，AD＝4，求△EDF的周长.

综合题普通

3. 菱形ABCD中，∠B=60°，点E在边BC上，点F在边CD上．

(1) 如图1，若E是BC的中点，∠AEF=60°，求证：BE=DF；

(2) 如图2，若∠EAF=60°，求证：△AEF是等边三角形．

综合题普通