如图1，平行四边形ABCD ，点E在AD上，连接CE ，点F为CE中点，连接DF ，并且DF＝EF ．

1. 如图1，平行四边形ABCD ，点E在AD上，连接CE ，点F为CE中点，连接DF ，并且DF＝EF ．

(1) 求证：平行四边形ABCD是矩形；

(2) 如图2，过点B作BH⊥CE ，垂足为H ，连接AH ，若∠AHB＝45°，求证：AE＝CD；

(3) 如图3，在（2）的条件下，过点A作AK⊥BH ，垂足为N ， AK与BC交于点K ，若四边形ABHE的面积为128，BK＝2 $\text{[math]}$ ，求线段HF的长度．

【考点】

三角形内角和定理; 全等三角形的判定与性质; 等腰三角形的性质; 勾股定理; 矩形的判定与性质;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．

(1) 求证：BF=2AE；

(2) 若CD= $\text{[math]}$ ，求AD的长．

综合题普通

2. 学习了“勾股定理”后，郑州某校数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下的活动报告，请根据活动报告完成下面试题．

报告	测量风筝的垂直高度 $\text{[math]}$
成员	组长：XXX 组员：XXX，XXX，XXX
工具	皮尺等
示意图
方案	先测量水平距离 $\text{[math]}$ ，然后根据手中剩余线的长度得出风筝线长 $\text{[math]}$ ，最后测量放风等的同学的身高 $\text{[math]}$
数据	$\text{[math]}$ 米 $\text{[math]}$ 米 $\text{[math]}$ 米
评价

(1) 求此时风筝的垂直高度 $\text{[math]}$ ；

(2) 若站在点A不动，想把风不沿 $\text{[math]}$ 方向从点F的位置上升18米至点C的位置，则还需放出风筝线多少米？

综合题普通

3. 如图，某村庄 $\text{[math]}$ 到公路 $\text{[math]}$ 之间有一池塘相隔，村民出行都是走 $\text{[math]}$ 这条村级公路．在美丽乡村建设过程中，为了便于村民出行，村委会治理了池塘并从 $\text{[math]}$ 到公路 $\text{[math]}$ 之间架桥新修了一条公路 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，测得 $\text{[math]}$ ．

(1) 求新修的公路 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 在后期的建设中，村委会在 $\text{[math]}$ 之间修建了一个观光亭 $\text{[math]}$ ，使得观光亭 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的距离与观光亭 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的距离相等，求观光亭 $\text{[math]}$ 到村庄 $\text{[math]}$ 的距离．

综合题普通