点C为线段上一点，以为斜边作等腰，连接，在外侧，以为斜边作等腰，连接．

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1. 点C为线段 $\text{[math]}$ 上一点，以 $\text{[math]}$ 为斜边作等腰 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 外侧，以 $\text{[math]}$ 为斜边作等腰 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，当 $\text{[math]}$ 时：

①求证： $\text{[math]}$ ；

②判断线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并证明；

(2) 如图2，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系是否保持不变？

对于以上问题，小牧同学通过观察、实验，形成了解决该问题的几种思路：

想法1：尝试将点D为旋转中心，过点D作线段 $\text{[math]}$ 垂线，交 $\text{[math]}$ 延长线于点G ，连接 $\text{[math]}$ ；通过证明 $\text{[math]}$ 解决以上问题；

想法2：尝试将点D为旋转中心，过点D作线段 $\text{[math]}$ 垂线，垂足为点G ，连接 $\text{[math]}$ ．通过证明 $\text{[math]}$ 解决以上问题；

想法3：尝试利用四点共圆，过点D作 $\text{[math]}$ 垂线段 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，通过证明D、F、B、E四点共圆，利用圆的相关知识解决以上问题．

请你参考上面的想法，证明 $\text{[math]}$ （一种方法即可）．

【考点】

全等三角形的判定与性质; 线段垂直平分线的性质; 等边三角形的判定与性质; 圆周角定理; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，在△ABC中，AB=AC，请按要求解答问题.

(1) 作线段AB的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E，连接BE；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

(2) 在（1）的基础上，若AC-BC=2，△BCE的周长为8，求AB与BC的长.

综合题普通

2. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，△CDE是等边三角形，点D在边AB上.

(1) 如图1，当点E在边BC上时，求证DE＝EB；

(2) 如图2，当点E在△ABC内部时，猜想ED和EB数量关系，并加以证明；

(3) 如图3，当点E在△ABC外部时，EH⊥AB于点H，过点E作GE∥AB，交线段AC的延长线于点G，AG＝5CG，BH＝3.求CG的长.

综合题困难

3. 教材呈现：下图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容.

线段垂直平分线，我们已知知道线段是轴对称图形，线段的垂直一部分线是线段的对称轴，如图直线 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上任一点，连结 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，将线段 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 对称，我们发现 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 完全重合，由此都有：线段垂直平分线的性质定理，线段垂直平分线上的点到线段的距离相等.