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1. 如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC、AB上，且DE∥AB，EF∥AC．

(1) 求证：BE=AF；
(2) 若∠ABC=60°，BD=6，求四边形ADEF的面积．
【考点】
角平分线的性质; 等腰三角形的判定与性质; 含30°角的直角三角形; 平行四边形的判定与性质;
【答案】

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综合题 普通
能力提升
换一批
1. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°

(1) 在BC上作出点D ， 使它到A ， B两点的距离相等（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）
(2) 若BD＝6，求CD长．
综合题 普通
2.

数学课上，张老师出示了问题：如图1，AC，BD是四边形ABCD的对角线，若∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°，则线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？

经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长CB到E，使BE=CD，连接AE，证得△ABE≌△ADC，从而容易证明△ACE是等边三角形，故AC=CE，所以AC=BC+CD．

小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将△ABC绕着点A逆时针旋转60°，使AB与AD重合，从而容易证明△ACF是等边三角形，故AC=CF，所以AC=BC+CD．

在此基础上，同学们作了进一步的研究：

(1) 小颖提出：如图4，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=45°”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明．
(2) 小华提出：如图5，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=α”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明．
综合题 困难
3.

如图，已知：在Rt△ABC中，斜边AB=10，sinA= ，点P为边AB上一动点（不与A，B重合），PQ平分∠CPB交边BC于点Q，QM⊥AB于M，QN⊥CP于N．

(1) 当AP=CP时，求QP；
(2) 若四边形PMQN为菱形，求CQ；
(3) 探究：AP为何值时，四边形PMQN与△BPQ的面积相等？
综合题 困难