已知正方形ABCD中，点E、F分别为边AB、BC上的点，连接CE、DF相交于点G，CE=DF．

1. 已知正方形ABCD中，点E、F分别为边AB、BC上的点，连接CE、DF相交于点G，CE=DF．

(1) 如图①，求证：DF⊥CE；

(2) 如图②，连接BD，取BD的中点O，连接OE、OF、EF，求证：△OEF为等腰直角三角形

(3) 如图③，在（2）的条件下，将△CBE和△DCF分别沿CB、DC翻折到△CBM和△DCN的位置，连接OM、ON、MN，若AE=2BE，ON= $\text{[math]}$ ，求EG的长．

【考点】

全等三角形的判定与性质; 勾股定理的应用; 正方形的性质; 等腰直角三角形;

【答案】

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综合题困难

1. 四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM.

(1) 求证：AM=AD+MC.

(2) 若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，试判断AM=AD+MC是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；

综合题困难

2. 一架方梯AB长25米，如图所示，斜靠在一面上：

(1) 若梯子底端离墙7米，这个梯子的顶端距地面有多高？

(2) 在（1）的条件下，如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？

综合题普通

3. 定义：若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为垂美四边形．

(1) 如图1，四边形 $\text{[math]}$ 是垂美四边形，用等式表示 $\text{[math]}$ 之间的数量关系并证明；

(2) 如图2，分别以 $\text{[math]}$ 的直角边 $\text{[math]}$ 和斜边 $\text{[math]}$ 为边向外作正方形 $\text{[math]}$ 和正方形 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 分别交 $\text{[math]}$ D于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长．

综合题困难