下面是小丁设计的“利用直角三角形和它的斜边中点作矩形”的尺规作图过程. 已知：如图，在RtΔABC中，∠ABC=90°，0为AC的中点. 求作：四边形ABCD，使得四边形ABCD为矩形. 作法：①作射线BO，在线段BO的延长线上取点D，使得DO=BO； ②连接AD，CD，则四边形ABCD为矩形. 根据小丁设计的尺规作图过程.

1. 下面是小丁设计的“利用直角三角形和它的斜边中点作矩形”的尺规作图过程.

已知：如图，在RtΔABC中，∠ABC=90°，0为AC的中点.

求作：四边形ABCD，使得四边形ABCD为矩形.

作法：①作射线BO，在线段BO的延长线上取点D，使得DO=BO；

②连接AD，CD，则四边形ABCD为矩形.

根据小丁设计的尺规作图过程.

(1) 使用直尺和圆规，在图中补全图形(保留作图痕迹)；

(2) 完成下面的证明.

证明：∴点O为AC的中点，

∴AO=CO.

又∵DO=BO，

∵四边形ABCD为平行四边形()(填推理的依据).

∵∠ABC=90°，

∴ $\text{[math]}$ ABCD为矩形()(填推理的依据).

【考点】

矩形的判定;

【答案】

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作图题普通

小华的设计如下：

①如图，任取一点O，过点O作直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

②以O为圆心，任意长为半径作圆，与直线 $\text{[math]}$ 交于点A，C，与直线 $\text{[math]}$ 交于点B，D；

③连接AB，BC，CD，DA．

所以，四边形ABCD即为所求作的矩形．

老师说小华的设计是正确的，请你根据小华的设计完成以下问题：

作图题普通

已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，O为AC的中点．

求作：四边形ABCD，使得四边形ABCD是矩形．

作法：①作射线BO，以点O为圆心，OB长为半径画弧，交射线BO于点D；

②连接AD，CD．

四边形ABCD是所求作的矩形．

根据小东设计的尺规作图过程，

证明：∵点O为AC的中点，

∴AO＝CO．

又∵BO＝　▲ 　，

∴四边形ABCD是平行四边形（）（填推理的依据）．

∵∠ABC＝90°，

∴▱ABCD是矩形（）（填推理的依据）．

作图题普通